每日一题[571]拨云见日

已知实数$x,y$满足$x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y$,求$x+y$的最大值与最小值.


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分析与解 令$a=\sqrt{x+1},b=\sqrt{y+2}$,且$a,b\geqslant 0$,则$x+y=a^2+b^2-3$,且条件变为$$a^2-1-3a=3b-(b^2-2),$$即$$\left(a-\dfrac 32\right)^2+\left(b-\dfrac 32\right)^2=\dfrac{15}2,$$它表示一段圆弧,如图.
屏幕快照 2016-07-25 上午9.51.02显然圆弧上的点$P$到原点的距离$OP$的最大值为$$OD=OC+r=\dfrac{3\sqrt 2}2+\sqrt{\dfrac{15}2}=\dfrac{3\sqrt 2+\sqrt{30}}2,$$其中$r$为圆$C$的半径.而$OP$的最小值为$$OA=\dfrac{3+\sqrt{21}}2.$$因此$x+y$的最大值为$9+3\sqrt{15}$,最小值为$\dfrac{9+3\sqrt{21}}2$.

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