两圆的公共弦

如果两圆$C_1:x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0$与$C_2:x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0$相交,则对应一条公共弦$AB$,将这两圆的方程相减可以得到$$(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0,$$因为两圆相交,所以$D_1-D_2$与$E_1-E_2$不同时为零,从而得到的方程表示一条直线,且两圆的公共点$A,B$的坐标满足圆的方程,故必满足直线的方程,从而知$A,B$在此直线上,故此直线就是两圆的公共弦所在的直线.

结论 如果两圆$C_1:x^2+y^2+D_1x+E_1y+F_1=0$与$C_2:x^2+y^2+D_2x+E_2y+F_2=0$相交,则公共弦所在直线的方程为$$(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+(F_1-F_2)=0.$$由这个结论我们可以给出“求圆外一点对应的切点弦方程”的另一个方法:

过圆$C:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$外一点$P(x_0,y_0)$作圆的两条切线$PA,PB$,其中$A,B$为切点,求切点弦$AB$所在的直线方程.

 因为$\angle PAC=\angle PBC$,所以$P,A,C,B$四点共圆,且$PC$为直径,所以这四点所在的圆的方程为$$(x-a)(x-x_0)+(y-b)(y-y_0)=0,$$记此圆为圆$M$. 屏幕快照 2016-06-28 下午3.11.51则圆$C$与圆$M$的公共弦就是切点弦,两圆的方程相减即得切点弦所在直线的方程$$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2.$$

 上面的过程中用到:以$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$为直径的圆的方程为$$(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0,$$这个结论也是圆中常见的结论,很容易证明.


例题一 (1)圆$C_1:x^2+y^2+4x+1=0$及圆$C_2:x^2+y^2+2x+2y+1=0$的公共弦长为_____,以公共弦为直径的圆的方程为______________;
(2)若圆$(x-a)^2+(y-b)^2=b^2+1$始终平分圆$(x+1)^2+(y+1)^2=4$的周长,则$a,b$满足的关系是__________________.

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分析与解 (1)两圆相减得$x-y=0$,第二个圆的圆心$(-1,-1)$恰在公共弦上,所以公共弦为第二个圆的直径,从而知公共弦长为$2$,以公共弦为直径的圆的方程为$x^2+y^2+2x+2y+1=0$,如图:屏幕快照 2016-06-28 下午3.40.55(2)两圆相减得公共弦所在直线的方程为$$(2+2a)x+(2+2b)y-(a^2+1)=0,$$由题意知,公共弦始终为第二个圆的直径,即第二个圆的圆心$(-1,-1)$始终在公共弦上,代入整理得$$a^2+2a+2b+5=0.$$


例题二 圆$O:x^2+y^2=4$与圆$C:x^2+y^2-8x+8=0$的公共弦为$AB$,则四边形$OACB$的面积为_____.

分析与解 将两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为$x=\dfrac 32$.于是圆心$O$到公共弦$AB$的距离$d=\dfrac 32$,从而知$$\dfrac {AB}{2}=\sqrt{4-\left(\dfrac 32\right)^2}=\dfrac {\sqrt 7}{2},$$故公共弦$AB=\sqrt 7$.又因为$AB\perp OC$,所以所求四边形面积$$S=\dfrac 12\cdot OC\cdot AB=2\sqrt 7.$$


最后给出两道练习:

练习一 已知两圆$x^2+y^2=50$和$x^2+y^2-12x-6y+40=0$相交于$A,B$两点,则直线$AB$的方程是_______,弦$AB$的长度是_______.

答案 $2x+y-15=0$,$2\sqrt 5$.

提示 第二个圆的圆心$(6,3)$在公共弦上,故$AB$是此圆的直径.

练习二 若圆$x^2+y^2=4$与圆$x^2+y^2+2ay-6=0(a>0)$的公共弦长为$2$,则$a=$____.

答案 $\dfrac {\sqrt 3}{3}$.


 “将两个圆的方程相减得到的方程是公共弦方程”的前提是两圆相交.当两圆相切时,方程相减得到的直线为两圆的一条公切线;当两圆相离时,方程相减得到的直线仍然与圆心连线垂直,且两圆的公切线的中点均在直线上.事实上,这条直线是这两个圆的根轴,即这条直线是到两圆的圆幂相等的点的集合(点$P$对圆$O$的圆幂定义为$PO^2-r^2$,其中$r$为圆$O$的半径).

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