每日一题[570]平分秋色

从数字$1,2,3,4,5$中任意取$4$个组成四位数,则这些四位数的平均数是_______.


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分析与解 显然共能组成${\rm A}_5^4=120$个四位数,设为$$\overline{a_ib_ic_id_i}(i=1,2,\cdots ,120),$$接下来有两种切入方式,配对以及按列求和.

配对 这$120$个数可以按$\overline{abcd}$与$\overline{(6-a)(6-b)(6-c)(6-d)}$的方式两两配对,如$1435$和$5231$.因此所有四位数的平均数为$$\dfrac {6666\times 60}{120}=3333.$$

按列求和 将这$120$个数依次写下:$$\begin{matrix}a_1&b_1&c_1&d_1\\ a_2&b_2&c_2&d_2\\ \cdots &\cdots &\cdots & \cdots\\ a_{120}&b_{120}&c_{120}&d_{120}\end{matrix}$$每一列中$1,2,3,4,5$的个数均为$24$,于是每一位的平均数为$$\dfrac{24(1+2+3+4+5)}{120}=3,$$因此所有四位数的平均数为$3333$.

思考与总结 利用这些四位数在形式上的对称进行求和.


最后给出一道练习:

从数字$0,1,2,3,4$中任意取$4$个组成四位数,则这些四位数的平均数是______.

答案 $\dfrac{21665}8$
提示 按列求和,第一位平均数为$\dfrac{24(1+2+3+4)}{96}$,第2,3,4位平均数为$\dfrac{18(1+2+3+4)}{96}$.

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