已知$\triangle ABC$中，$A=120^\circ$，$D$为$BC$边上的中点，$E,F$分别为$AB,AC$边上的动点，且$EF\parallel BC$，求证：$DE+DF\geqslant BD$． 
前一阵子，我有个北京的帅哥学生去杭州游学，回来之后就问我北京到杭州的球面距离是多少．我知道，他一定是在游学期间结识了杭州的一位（也许是若干位）美女同学，于是回北京之后夜夜相思，遂有此问．也巧，北京和杭州正好是京杭大运河的两端．这真是日日思君不见君，共饮运河水啊．
已知在数列$\{a_n\}$中，$a_1=2$，$a_p+a_q=a_{p+q}$($p,q\in\mathcal N^*$)．
（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；
（2）若数列$\{b_n\}$满足$b_1=1$，$b_{n+1}=\dfrac{a_n}{2b_n}$，求证：$$\dfrac{1}{b_1}+\dfrac{1}{b_2}+\cdots +\dfrac{1}{b_n}\geqslant \sqrt{2a_n}-1.$$
1、设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$为抛物线$y^2=2px$($p>0$)上不同两点，若以$AB$为直径的圆恰与抛物线在另一公共点处相切，则$\dfrac{p}{x_1+x_2}-\dfrac{y_1y_2}{x_1x_2-y_1y_2}$的最小值为_______．
已知$\triangle ABC$的三个内角$A,B,C$满足$\sin A,\cos B,\sin C$成等比数列，$\cos A,\sin B,\cos C$成等差数列，求$\cos B$．
如图，圆$O$的半径为$r$，直角三角形$ABC$的顶点$A,B$在圆$O$上，$\angle B$为直角，$\angle A$的大小为$\theta$，$C$在圆内部（包括边界）．当点$A$在圆$O$上运动时，$OC$的最小值为_______．
在《级数求和之等比放缩》中，我们介绍了等比放缩，即把一个求和级数的通项放缩成一个等比数列，等比放缩的要求是$\dfrac {a_{n+1}}{a_n}<q<1$，所以对于有些数列，是不可能走等比放缩的路的，比如数列$a_n=\dfrac {1}{n^2}$，要证明$\sum\limits_{k=1}^n{a_k}<2$．
在$\triangle ABC$中，求证：$(\cos A+\cos B+\cos C)^2\geqslant \sin A\sin B+\sin B\sin C+\sin C\sin A$．
