日日思君不见君,共饮运河水

前一阵子,我有个北京的帅哥学生去杭州游学,回来之后就问我北京到杭州的球面距离是多少.我知道,他一定是在游学期间结识了杭州的一位(也许是若干位)美女同学,于是回北京之后夜夜相思,遂有此问.也巧,北京和杭州正好是京杭大运河的两端.这真是日日思君不见君,共饮运河水啊.

我们先来推导出一般公式,这里采用弧度制.如图,为了方便计算,我们假设地球是一个半径$r=6371$km的规则球体,$N$为北极点,$S$为南极点.设帅哥同学所在的点$A$的经度为$j_1$,纬度为$w_1$;美女同学所在的点$B$的经度为$j_2$,纬度为$w_2$.其中东半球的点经度取为正数,西半球的点经度取为负数;北半球的点纬度取为正数,南半球的点纬度取为负数.设点$A$所在的经线交赤道于点$A_1$,点$B$所在的经线交赤道于点$B_1$.

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由地理知识(详见《百度百科——经纬度》)可知,$\angle{AOA_1}=w_1,\angle{BOB_1}=w_2,\angle{A_1OB_1}=j_1-j_2$.设$\angle AOB$的大小为$\varphi \left(0\leqslant \varphi \leqslant \pi \right) $,则由三射线定理(详见《三射线定理及其典型应用》一文)可知,\[\begin{split}\cos{\varphi} &=\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-w_1 \right) }\cos{\left(\dfrac{\pi}{2}-w_2 \right) }+\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}-w_1 \right) }\sin{\left(\dfrac{\pi}{2}-w_2\right)}\cos{\left(j_1-j_2\right) }\\&=\cos{w_1}\cos{w_2}\cos{\left(j_1-j_2\right) }+\sin{w_1}\sin{w_2},\end{split} \]故$$\varphi =\arccos{\left[\cos{w_1}\cos{w_2}\cos{\left(j_1-j_2\right) }+\sin{w_1}\sin{w_2}\right]},$$所以$A,B$两点间的球面距离为$$r\cdot\varphi=r\cdot\arccos{\left[\cos{w_1}\cos{w_2}\cos{\left(j_1-j_2\right) }+\sin{w_1}\sin{w_2}\right]}.$$

根据北京、杭州的地理位置,我们取帅哥同学的坐标为东经$116^\circ$,北纬$40^\circ$;美女同学的坐标为东经$120^\circ$,北纬$30^\circ$.代入上式计算,可知此"相思球面距离"约为$1170$km.

$1170$km的球面距离需要花费多长时间可以跨越呢?从首都国际机场到萧山国际机场的航班运行时间约为$2$小时$15$分钟;从北京南站到杭州东站的高铁运行时间约为$5$小时$15$分钟,如果思念,那就相见.

注  京杭大运河全长$1794$km.至$2012$年,通航里程为$1442$km.2014年9月,通州、武清、香河三地水务部门已签订战略合作协议,京杭大运河通州—香河—武清段有望实现复航,计划于2017年实现初步通航,2020年正式通航(详见《百度百科——京杭大运河》).那时候,若是坐船往返于京杭之间,倒也别有风情.

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