Math173

已知圆$O:x^2+y^2=4$，$F(0,2)$，点$A,B$是圆$O$上的动点，且$|FA|\cdot |FB|=4$，是否存在与动直线$AB$恒相切的定圆，若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由． 继续阅读 →

已知$a,b,c\in\mathcal R$，且$\dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+4b^2}+\dfrac{1}{1+9c^2}=1$，则$|6abc-1|$的最小值为_______．

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已知$A,B,C$是椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)上的三个定点，$O$为坐标原点，且直线$OC$平分弦$AB$．$P$为椭圆$E$上的动点，直线$PA,PB$分别交直线$OC$于点$M,N$，$\dfrac{|OM|\cdot |ON|}{|OC|^2}$是否为定值?若为定值，求出该定值并证明；若不为定值，请说明理由．
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设$a,b$为实数，且$|a|+|b|<1$，方程$x^2+ax+b=0$存在两个实根$\alpha,\beta$，求证：$|\alpha|<1$且$|\beta|<1$． 继续阅读 →

已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，$x$轴上有不同于长轴端点的两点$M(m,0)$和$N(n,0)$，过$M$作直线$AB$与椭圆$E$交于点$A,B$，直线$AN$和直线$BN$分别交椭圆$E$于$C,D$，求证：直线$AB$与直线$CD$的斜率之比为定值．

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讨论函数$f(x)=x^2+2(1-a)x-4a$与函数$g(x)=\dfrac 1x-(a+1)^2$的图象的公切线条数． 继续阅读 →