Math173

已知函数$f(x)=-\dfrac 13x^3+x^2-ax$有三个零点$0,x_1,x_2$，且$x_1<x_2$．若对任意的$x\in [x_1,x_2]$，$f(x)>f(1)$恒成立，求实数$a$的取值范围．

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已知$a\left(x^2-1\right)-\dfrac 1x-\ln x+{\rm e}^{1-x}>0$对任意$x>1$恒成立，求$a$的取值范围．

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已知正$\triangle ABC$的顶点$A,B$在抛物线$y^2=4x$上，另一个顶点$C(4,0)$，求符合题意的正三角形$\triangle ABC$的个数．

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已知椭圆$E:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，过点$P(2,1)$作直线与椭圆相交于$M,N$，过点$N$作斜率为$-\dfrac 32$的直线与椭圆交于另一点$Q$，求证：直线$MQ$过定点．

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已知$(x-a)^2\cdot \ln x\leqslant 4{\rm e}^2$对任意$x\in (0,3{\rm e}]$恒成立，求$a$的取值范围．

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某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有$n$位学生，每次活动均需该系$k$位学生参加($n$和$k$都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系$k$位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为$X$．

(1) 求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；
(2) 求使$P(X=m)$取得最大值的整数$m$. 

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已知数列$a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}=\dfrac{na_n+a_n^2}{n+1}$，$b_n=na_n$．

(1) 求证：$\{a_n\}$是递减数列；

(2) 对任意的$n\in\mathbb N^*$，都有$b_n\leqslant \dfrac 32$．

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已知$a>b>0$，$a^b=b^a$．

(1)求证：$a>{\rm e}>b>1$；

(2)求证：$a+b>2{\rm e}$；

(3)求证：$a\cdot b>{\rm e}^2$．

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已知$A,B,C$是半径为$1$的圆$O$上的三点，$AB$为圆$O$的直径，$P$为圆$O$内(含圆周)一点，求$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}$的取值范围．

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