练习题集[93]基础练习

1.化简集合$M=\left\{(x,y)\mid y=px+p^2,p\in \mathbb R\right\}$.

2.已知$\left(2x+\dfrac{1}{x^2}+a\right)^6$的展开式中常数项为$1$,求$a$的值.

3.已知$a<b<c$,求证:$|b|<\max\{|a|,|c|\}$.

4.已知双曲线$E:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)的左、右焦点分别为$F_1,F_2$,点$P\left(3,\dfrac 52\right)$是双曲线$E$上一点,且$\triangle PF_1F_2$的内切圆半径为$1$,求双曲线$E$的方程.

5.已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$与$y$轴交于$A,B$两点,点$P$是椭圆$C$上的一个动点,且点$P$在$y$轴的右侧.直线$PA,PB$与直线$x=4$分别交于$M,N$两点.若以$MN$为直径的圆与$x$轴交于两点$E,F$,求点$P$横坐标的取值范围及$\left|EF\right|$的最大值.

6.已知正数$x,y$满足$15x-y=22$,求$x^3+y^3-x^2-y^2$的最小值.

7.求证:任取四个不同的正整数,一定可以用$24$点的规则(用四则运算符号和括号连接这四个数)算出一个$24$的倍数.


参考答案

1.考虑抛物线$y=ax^2$在$x=t$处的切线方程,为\[y=2at(x-t)+at^2,\]即\[y=2atx-at^2.\]令\[\begin{cases}2at=p,\\ -at^2=p^2,\end{cases}\]解得$a=-\dfrac 14$,$t=-2p$.于是题中集合即抛物线$y=-\dfrac 14x^2$的所有切线上的点构成的集合,也即\[\left\{(x,y)\mid y\geqslant -\dfrac 14x^2\right\}.\]配方也可以直接得到结果.

2.$-1$或$-\sqrt[3]{239}$.

我们熟知$(a_1+a_2+\cdots +a_m)^n$($m,n\geqslant 2$且$m,n\in\mathbb Z$)的展开式中,包含$a_1^{i_1}a_2^{i_2}\cdots a_m^{i_m}$的项的系数为\[\dfrac{n!}{i_1!\cdot i_2!\cdots i_m!},\]其中$i_1+i_2+\cdots+i_m =n$.记\[(n,i_1,i_2,\cdots,i_{m-1})=\dfrac{n!}{i_1!\cdot i_2!\cdots i_m!}\cdot a_1^{i_1}a_2^{i_2}\cdots a_m^{i_m},\]则在本题中,有\[(6,0,0)+(6,2,1)+(6,4,2)=a^6+240a^3+240=1,\]解得$a=-1$或$-\sqrt[3]{239}$.

3.由$a<b<c$可知,必然存在$0<\lambda<1$,使\[b=(1-\lambda)a+\lambda c,\]于是\[|b|=|(1-\lambda)a+\lambda c|\leqslant (1-\lambda)|a|+\lambda |c|\leqslant \max\{|a|,|c|\}.\]等号取得的条件是$a,c$同号,且$|a|=|c|$,无法取得.因此原命题得证.

4.$\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}5=1$.

$\triangle PF_1F_2$的面积\[\dfrac 12(PF_1+PF_2+F_1F_2)\cdot r=\dfrac 12F_1F_2\cdot h,\]其中$r,h$分别为$\triangle PF_1F_2$的内切圆半径和$F_1F_2$边上的高.应用双曲线的焦半径公式 I,可得\[\dfrac 12(3e+a+3e-a+2c)\cdot 1=\dfrac 12\cdot 2c\cdot \dfrac 52,\]解得$a=2$,进而可求得双曲线的方程为$\dfrac{x^2}4-\dfrac{y^2}5=1$.

5.点$P$横坐标的取值范围是$\left(\dfrac{8}{5},2 \right]$,$\left|EF\right|$的最大值是$2$.

6.$1$.

设$f(x)=x^3-x^2$,将$y=15x-22$代入,可得原式\[M(x)=f(x)+f(15x-22),\]其中$x\in \left(\dfrac {22}{15},+\infty\right)$.于是\[\begin{split}M'(x)&=f(x)+15f'(15x-22)\\
&=3x^2-2x+15\left[3\left(15x-22\right)^2-2\left(15x-22\right)\right]\\
&=10128x^2-30152x+22440\\
&=8(633x-935)(2x-3),
\end{split}\]于是$M(x)$在$x=\dfrac 32$处取得最小值,为\[M\left(\dfrac 32\right)=f\left(\dfrac 32\right)+f\left(\dfrac 12\right)=1.\]

 无论使用切线放缩,还是拉格朗日乘数法,都无法避开求解一个大系数的二次方程.

7.分以下两种情形讨论.

情形一 四个数中有$4$的倍数.若剩下的$3$个数中有$6$的倍数,那么命题显然成立.否则按模$6$作三个抽屉,分别余$\pm 1,\pm 2,\pm 3$,若剩下的三个数分别在三个不同的抽屉中,那么它们之间用$+,-$连接可以得到$6$的倍数;若$b,c,d$中有两个在同一个抽屉中,那么这两个数可以用$+,-$连接得到$6$的倍数.最后相乘就可以得到$24$的倍数.

情形二 四个数中没有$4$的倍数,那么按照模$8$作三个抽屉,分别余$\pm 1,\pm 2,\pm 3$,这样至少有$2$个数在同一个抽屉中,它们用$+,-$连接可以得到$8$的倍数.剩下的两个数中若有$3$的倍数,那么命题显然成立.否则按模$3$余数必然为$\pm 1$,这样它们之间用$+,-$连接可以得到$3$的倍数.最后相乘就可以得到$24$的倍数.

综合以上情形,命题得证.

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练习题集[93]基础练习》有 2 条评论

  1. Belmont说:

    第4、5题是不是重复了。

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