每日一题[830]正三角形遇到抛物线

已知正$\triangle ABC$的顶点$A,B$在抛物线$y^2=4x$上,另一个顶点$C(4,0)$,求符合题意的正三角形$\triangle ABC$的个数.


cover

正确答案是$4$.

分析与解 情形一 当$AB$与$x$轴垂直时,显然有$2$个符合题意的正三角形.

情形二 当$AB$与$x$轴不垂直时,设$A(4a^2,4a)$,$B(4b^2,4b)$,且$a<b$,则直线$AB$的方程为\[x-(a+b)y+4ab=0,\]线段$AB$的垂直平分线为\[(a+b)x+y-2(a+b)(a^2+b^2+1)=0,\]考虑到$C(4,0)$,因此$a^2+b^2=1$.此时有\[|AB|=4|a-b|\cdot \sqrt{(a+b)^2+1}=4\sqrt 2\cdot |a-b|\cdot\sqrt{ab+1},\]而$C$到直线$AB$的距离\[d=\dfrac{4|ab+1|}{\sqrt{(a+b)^2+1}}=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{ab+1}.\]根据题意,有$d=\dfrac{\sqrt 3}2|AB|$,于是\[1=\sqrt 3 \cdot |a-b|,\]两边平方,将$a^2+b^2=1$代入,有$ab=\dfrac 13$.考虑到\[\begin{cases}a^2+b^2=1,\\ ab=\dfrac 13,\end{cases}\]有$2$组不同的解,对应$2$个符合题意的正三角形.

注 情形一的两组解为\[\begin{cases}A\left(10-2\sqrt{21},2\sqrt 3-2\sqrt 7\right),\\B\left(10-2\sqrt{21},2\sqrt 7-2\sqrt 3\right),\end{cases}\]及\[\begin{cases}A\left(10+2\sqrt{21},2\sqrt 3+2\sqrt 7\right),\\ B\left(10+2\sqrt{21},-2\sqrt 3-2\sqrt 7\right).\end{cases}\]情形二的两组解为\[\begin{cases}A\left(\dfrac{6-2\sqrt{5}}{3},\dfrac{2\sqrt{15}-2\sqrt 3}{3}\right),\\B\left(\dfrac{6+2\sqrt{5}}{3},\dfrac{2\sqrt{15}+2\sqrt 3}{3}\right),\end{cases}\]及\[\begin{cases}A\left(\dfrac{6-2\sqrt{5}}{3},-\dfrac{2\sqrt{15}-2\sqrt 3}{3}\right),\\ B\left(\dfrac{6+2\sqrt{5}}{3},-\dfrac{2\sqrt{15}+2\sqrt 3}{3}\right).\end{cases}\]

此条目发表在每日一题分类目录,贴了标签。将固定链接加入收藏夹。

发表评论