每日一题[827]概率的最值

某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动,分别由李老师和张老师负责.已知该系共有$n$位学生,每次活动均需该系$k$位学生参加($n$和$k$都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系$k$位学生,且所发信息都能收到.记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为$X$.

(1) 求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率;
(2) 求使$P(X=m)$取得最大值的整数$m$. 


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分析与解 (1) 根据独立事件的概率计算公式,可得所求概率\[p=1-\left(1-\dfrac kn\right)^2=\dfrac{k(2n-k)}{n^2}.\]
(2) $m$的可能取值为$k,k+1,k+2,\cdots,\min\{2k,n\}$,同时收到李老师和张老师转发信息的人数为$2k-m$,只收到李老师转发信息以及只收到张老师转发信息的人数均为$m-k$,于是\[P(X=m)=\dfrac{{\rm C}_n^k{\rm C}_k^{2k-m}{\rm C}_{n-k}^{m-k}}{{\rm C}_n^k{\rm C}_n^k}=\dfrac{{\rm C}_k^{2k-m}{\rm C}_{n-k}^{m-k}}{{\rm C}_n^k},\]考虑\[\begin{split}\dfrac{P(X=m+1)}{P(X=m)}&=\dfrac{{\rm C}_k^{2k-m-1}{\rm C}_{n-k}^{m+1-k}}{{\rm C}_k^{2k-m}{\rm C}_{n-k}^{m-k}}\\&=\dfrac{(n-m)(2k-m)}{(m+1-k)^2}\\&=\dfrac{m^2+(-n-2k)m+2nk}{m^2+(2-2k)m+(k-1)^2}\\
&=1-\dfrac{(n+2)m-2nk+(k-1)^2}{m^2+(2-2k)m+(k-1)^2},\end{split}\]
因式上式中的分母为正,考虑$(n+2)m-2nk+(k-1)^2$的正负即可:

记$\lambda =\dfrac{2nk-(k-1)^2}{n+2}$,则当$m>\lambda $时,$$P(X=m+1)<P(X=m);$$当$m=\lambda$时,$$P(X=m+1)=P(X=m);$$当$m<\lambda $时,$$P(X=m+1)>P(X=m).$$因此当$\lambda \in\mathbb N$时,有\[P(X=\lambda+1)=P(X=\lambda),\]且两者均为最大值,此时$m=\lambda,\lambda+1$;

当$\lambda \notin \mathbb N$时,有$P(X=[\lambda]+1)$为最大值,此时$m=[\lambda]+1$,其中$[\lambda ]$表示不超过$\lambda $的最大整数.

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