等差数列$\{a_n\}$各项均为正整数，满足$a_1a_2-8a_1+a_2-13=0$，数列$\{b_n\}$满足$b_n=n^2$($n\in\mathcal N^*$)，数列$\{a_n\}$与$\{b_n\}$所有公共项从小到大排列得到数列$\{c_n\}$，$S_n$是数列$\left\{\sqrt{1+\dfrac{1}{b_n}+\dfrac{1}{b_{n+1}}}\right\}$的前$n$项和，则$(4S_n)^2-c_{2n-1}$的最大值为_______．
设实数$x,y,z$满足$$\begin{cases} |x+2y-3z|\leqslant 6,\\ |x-2y+3z|\leqslant 6,\\ |x-2y-3z|\leqslant 6,\\ |x+2y+3z|\leqslant 6,\end{cases} $$则$|x|+|y|+|z|$的最大值为______．
设$F$为双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$的左焦点，在$x$轴上$F$点的右侧有一点$A$，以$FA$为直径的圆与双曲线左、右两支在$x$轴上方的交点分别为$M,N$，则$\dfrac{|FN|-|FM|}{|FA|}=$_______．
若函数$f(x)=x^4+2x^3+4x^2+cx$的图象关于直线$x=m$对称，则$f(x)$的最小值是______．
长为 $3$ 的线段 $AB$ 的两个端点 $A,B$ 分别在 $x$ 轴，$y$ 轴上移动，点 $P$ 在直线 $AB$ 上且满足 $\overrightarrow {BP}=2\overrightarrow {PA}$．
(1) 求点 $P$ 的轨迹方程；
(2) 记点 $P$ 轨迹为曲线 $C$，过点 $Q\left(2,1\right)$ 任作直线 $l$ 交曲线 $C$ 于 $M,N$ 两点，过 $M$ 作斜率为 $-\dfrac{1}{2}$ 的直线 $l'$ 交曲线 $C$ 于另一点 $R$，求证：直线 $NR$ 与直线 $OQ$ 的交点为定点（$O$ 为坐标原点），并求出该定点．
1．已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+3}\leqslant a_n+3$，$a_{n+2}\geqslant a_n+2$，求$\{a_n\}$．
已知$f(x)=x+x\ln x$，若$k\in\mathcal Z$，且$k(x-2)<f(x)$对任意$x>2$恒成立，则$k$的最大值为________．
(1) 求证：$1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1{3^n}\geqslant \dfrac {7+4n}6$；
(2) 求证：$1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1{2^n}\geqslant \dfrac{11+7n}{12}$．
已知实数$a,b,c$成等差数列($a,b$不全为$0$)，点$A(0,-3)$在直线$ax+by+c=0$上的射影为$M$，点$N(2,3)$，则$|MN|$的最大值为_______．
