每日一题[824]转换起点

已知$A,B,C$是半径为$1$的圆$O$上的三点,$AB$为圆$O$的直径,$P$为圆$O$内(含圆周)一点,求$\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}$的取值范围.


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分析与解 根据题意,有\[\begin{split}&\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}\\=&\sum_{cyc}(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP})\cdot (\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP})\\=&\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}-2(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC})\cdot \overrightarrow{OP}+3OP^2\\=&-1-2\overrightarrow {OC}\cdot \overrightarrow{OP}+3OP^2\end{split}\]
先固定$P$点位置,则有\[-1-2OP+3OP^2\leqslant -1-2\overrightarrow {OC}\cdot \overrightarrow{OP}+3OP^2\leqslant -1+2OP+3OP^2,\]考虑到$OP$的取值范围是$[0,1]$,于是原式的取值范围是$\left[-\dfrac 43,4\right]$.

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