Math173

在平面直角坐标系中，圆$C_1:(x+1)^2+(y-6)^2=25$，圆$C_2:(x-17)^2+(y-30)^2=r^2$．若$C_2$上存在一点$P$可作一条射线与$C_1$依次交于点$A,B$，满足$|PA|=2|AB|$，则半径$r$的取值范围是_________．

继续阅读 →

若函数$f(x)=x^2\cdot |x-a|$在区间$[0,2]$上单调递增，则实数$a$的取值范围是______．

继续阅读 →

已知关于$x$的方程$x^2+2bx+c=0$($b,c\in\mathbb R$)在$[-1,1]$上有实根，且$0\leqslant 4b+c\leqslant 3$，则$b$的取值范围是_______．

继续阅读 →

已知向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$满足$\Big|\overrightarrow  a\Big|=1$，$\Big|\overrightarrow  a-\overrightarrow  b\Big|=\Big|\overrightarrow  b\Big|$，$\left(\overrightarrow  a-\overrightarrow  c\right)\cdot \left(\overrightarrow  b-\overrightarrow  c\right)=0$．对于确定的$\overrightarrow  b$，记$\overrightarrow  c$的长度的最大值和最小值分别为$m,n$，则当$\overrightarrow  b$变化时，$m-n$的最小值是_______． 继续阅读 →

证明下列不等式：
(1) 若$\dfrac{1}{\rm e}<x<y<1$，则$\dfrac yx<\dfrac{1+\ln y}{1+\ln x}$；
(2) $\left(\dfrac 2{1^4}+1\right)\left(\dfrac{2}{2^4}+1\right)\cdots \left(\dfrac{2}{n^4}+1\right)<{\rm e}^4$．

继续阅读 →

(2011年江苏卷)设集合\[\begin{split} A&=\left\{(x,y)\mid \dfrac m2\leqslant (x-2)^2+y^2\leqslant m^2,x,y\in\mathbb R\right\},\\ B&=\left\{(x,y)\mid 2m\leqslant x+y\leqslant 2m+1,x,y\in\mathbb R\right\},\end{split} \]若$A\cap B\neq \varnothing$，则实数$m$的取值范围是_________．

继续阅读 →

已知$\cos 2\alpha+\cos2\beta+\cos2\gamma =1$，$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma =0$，则$\tan\gamma$的最大值为_______．

继续阅读 →

设函数$f(x)={\rm e}^x-ax+a$($a\in\mathbf R$)，其图象与$x$轴交于$A(x_1,0)$，$B(x_2,0)$两点，且$x_1<x_2$．
(1) 求$a$的取值范围；
(2) 求证：$f'\left(\sqrt{x_1x_2}\right)<0$；
(3) 设$C$在函数$y=f(x)$的图象上，且$\triangle ABC$为等腰直角三角形，记$\sqrt{\dfrac{x_2-1}{x_1-1}}=t$，求$(a-1)(t-1)$的值．

继续阅读 →