每日一题[589]巧构形式

整数$x_0,x_1,x_2,\cdots ,x_{2008}$满足条件:$x_0=1$,$|x_1|=|x_0+1|$,$|x_2|=|x_1+1|$,$\cdots $,$|x_{2008}|=|x_{2007}+1|$,则$|x_0+x_1+x_2+\cdots +x_{2008}|$的最小值为_______.


cover分析与解 补充定义$|x_{2009}|=|x_{2008}+1|$,根据题意,有$$\begin{cases} x_1^2=x_0^2+2x_0+1,\\ x_2^2=x_1^2+2x_1+1,\\ \cdots ,\\ x_{2008}^2=x_{2007}^2+2x_{2007}+1,\\ x_{2009}^2=x_{2008}^2+2x_{2008}+1\end{cases} $$因此$$x_{2009}^2=x_0^2+2(x_0+x_1+\cdots +x_{2008})+2009,$$进而$$|x_0+x_1+x_2+\cdots +x_{2008}|=\dfrac 12\left|x_{2009}^2-2010\right|,$$由于$x_{2009}$是偶数,而$44^2<2010<45^2$,因此$$|x_0+x_1+x_2+\cdots +x_{2008}|\geqslant \dfrac 12|44^2-2010|=37,$$等号当且仅当$x_{2009}=\pm 44$时取得.当数列$\{x_n\}$取$$x_0=x_2=\cdots =x_{1966}=1,x_1=x_3=\cdots =x_{1965}=-2,$$且$$x_{1967}=2,x_{1968}=3,\cdots ,x_{2008}=43,x_{2009}=44$$时,可得所求的最小值为$37$.

 通过平方将前$n$项和构造出来是解决问题的关键.

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