圆的参数方程

在三角函数的定义中,我们通过任意角$\alpha $的终边与单位圆的交点的横坐标与纵坐标定义$\cos\alpha$与$\sin\alpha$,得到单位圆上的点的坐标为$(\cos\alpha,\sin\alpha)$.屏幕快照 2016-07-29 下午3.53.51事实上,对于任意一个圆$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$,圆上的点都可以表示为$$\begin{cases} x=x_0+r\cos\theta,\\y=y_0+r\sin\theta,\end{cases}\theta\in[0,2\pi).$$这也是该圆的参数方程,其中参数$\theta$具有明确的几何意义.利用圆的参数方程,我们可以很方便地设出表示出圆的点的坐标,也可以对某些与根式相关的问题进行三角换元去根号.


例题一 (1)已知$x,y$满足$(x-2)^2+(y-1)^2=1$,求$3x+4y$的取值范围;
(2)求$y=2x+\sqrt{4-x^2}$的值域.

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分析与解 (1)点$(x,y)$在圆上,所以可以设$$\begin{cases} x=2+\cos\theta,\\y=1+\sin\theta,\end{cases},\theta\in[0,2\pi).$$于是$$3x+4y=10+3\cos\theta+4\sin\theta=10+5\sin(\theta+\varphi)\in[5,15].$$

(2)分析 因为点$(x,\sqrt{4-x^2})$在圆$x^2+y^2=4$上,所以遇到形如$\sqrt{a^2-x^2}$的问题都可以通过三角换元去掉根号.为了使得开根号时不需要讨论正负,可以限定角度的范围,只需要保证定义域内所有$x$都可以取到即可.

 令$x=2\cos\theta,\theta\in[0,\pi]$,则$$y=4\cos\theta+2\sin\theta=2\sqrt 5\sin(\theta+\varphi),$$其中$\tan\varphi=2,\varphi$为锐角.

所以$\theta+\varphi\in[\varphi,\pi+\varphi]$,而$\sin\varphi=\dfrac {2}{\sqrt 5}$,所以$$\sin(\theta+\varphi)\in\left[-\dfrac {2}{\sqrt 5},1\right ],$$从而有$y\in[-4,2\sqrt 5]$.


圆有非常好的几何意义,所以圆的参数方程带来的便利有时会被通过几何意义解题的便捷所冲淡.甚至有时,我们需要将某些与三角函数相关的未知量看成圆上的点的坐标,通过圆的几何意义去避免代数的计算.

例题二 求函数$f(x)=\dfrac{\sin x}{\cos x+2}$与$g(x)=\dfrac {\sqrt 3\sin x}{2+\sqrt 3\cos x}$的值域.

分析与解 因为$P(\cos x,\sin x)$表示单位圆上的点,所以$f(x)$可以表示单位圆上的点$P$与定点$M(-2,0)$的连线的斜率.如下图:屏幕快照 2016-08-01 上午9.52.03知$$f(x)\in\left[-\dfrac {\sqrt 3}{3},\dfrac {\sqrt 3}{3}\right].$$同理,$g(x)$的值域可以看成是圆$(x-2)^2+y^2=3$上的点$(2+\sqrt 3\cos x,\sqrt 3\sin x)$与原点连线的斜率,如下图:屏幕快照 2016-08-01 上午10.15.38知$$g(x)\in[-\sqrt 3,\sqrt 3].$$ $g(x)$也可以看成是圆$x^2+y^2=1$上的点$(\cos x,\sin x)$与点$\left(-\dfrac 2{\sqrt 3},0\right )$连线的斜率的取值范围.


最后给出两道练习:

练习一 已知$x^2+(y-1)^2=1$,求$\sqrt 3x+y$的取值范围.

答案 $[-1,3]$.

练习二 求下列函数的值域:
(1)$y=2x+\sqrt{1-x^2}$;(2)$y=\dfrac {\sin x-1}{\cos x-1}$.

答案 (1)$[-2,\sqrt 5]$;(2)$[0,+\infty)$.

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