Math173

设函数$f(x)=ax^2+bx+c$($a>b>c$)的图象经过点$A(m_1,f(m_1))$，$B(m_2,f(m_2))$，$f(1)=0$．若$a^2+(f(m_1)+f(m_2))a+f(m_1)\cdot f(m_2)=0$，则(　　)
A．$b\geqslant 0$
B．$b<0$
C．$3a+c\leqslant 0$
D．$3a-c<0$

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已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)，点$P(x_0,y_0)$是椭圆$E$内部一点，过$P$作直线$l$与椭圆$E$交于$A,B$两点，设椭圆$E$在$A,B$处的切线交于点$Q$，求$Q$点的轨迹方程，并求$\triangle QAB$面积的最小值．

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已知$\overrightarrow m,\overrightarrow n$是两个非零向量，且$|\overrightarrow m|=2$，$|\overrightarrow m+2\overrightarrow n|=2$，则$|2\overrightarrow m+\overrightarrow n|+|\overrightarrow n|$的最大值是_______．

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(1) 求函数$f(x)=x\ln x-(1-x)\ln (1-x)$在$0<x\leqslant \dfrac 12$上的最大值；

(2) 已知$0<x<1$，求证：$x^{1-x}+(1-x)^x\leqslant \sqrt 2$．

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已知直线$l:x=t$与椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)相交于$A,B$两点，$M$是椭圆$C$上一点，设直线$MA,MB$分别与$x$轴交于$E,F$两点，$O$为坐标原点，求证：$|OE|\cdot |OF|$为定值．

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已知$x>2y>0$，$\dfrac x2+\dfrac 1y+\dfrac 8{x-2y}=10$，求$x$的最大值．

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已知数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$满足$a_1=2$，$b_n=\dfrac{2(a_n+2)}{a_{n+1}-a_n}$．
(1)若$b_n=4a_n$，求证：$a_n\geqslant \dfrac{n+2}2$；
(2)若$(b_{n+1}-b_n)a_n=2(b_n+2)$且$b_1=3$，求证：$a_n<18$．

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如图，两个正三角形$ABC,A_1B_1C_1$组成“六芒星”，$O$为“六芒星”的中心，$P$为“六芒星”图案上一点(边界上)，且$\overrightarrow  {OP}=x\overrightarrow  {OD}+y\overrightarrow {OC_1}$，则$x+y$的取值范围是________．
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已知$a,b\in\mathbb R$，若函数$f(x)=|a\sin x+b\cos x-1|+|b\sin x-a\cos x|$的最大值为$11$，则$a^2+b^2$的值是______．

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已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{32}=1$，$F_1,F_2$是$E$的左、右焦点，$AB$是过$F_1$的焦点弦，且$\triangle AF_2B$的面积为$32$，求$|AB|$．

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