每日一题[797]“六芒星”闪耀

如图,两个正三角形$ABC,A_1B_1C_1$组成“六芒星”,$O$为“六芒星”的中心,$P$为“六芒星”图案上一点(边界上),且$\overrightarrow  {OP}=x\overrightarrow  {OD}+y\overrightarrow {OC_1}$,则$x+y$的取值范围是________.


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正确答案是$[-5,5]$.

分析与解 连结$C_1D,AA_1$,并记它们的交点为$N$,记$B_1C_1$的中点为$M$,如下图:由向量的等系数和线知当点$P$在直线$C_1D$上时,有$x+y=1$;

作一系列与$C_1D$平行的直线与六芒星图案相交,并与线段$AA_1$相交于一点,记为$Q$,则$x+y$的绝对值为$OQ$与$ON$长度的比值,从而当点$P$与$A,A_1$重合时,$x+y$分别取到最大值与最小值,下面计算$OA:ON$的值:

一方面$ON:MN=OD:C_1M=2:3$,所以$ON=\dfrac 25OM$;

另一方面,$AM=MO$,所以$ON=\dfrac 15OA$.

从而得到$x+y\in[-5,5]$.

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