每日一题[804]变幻的二次函数

设函数$f(x)=ax^2+bx+c$($a>b>c$)的图象经过点$A(m_1,f(m_1))$,$B(m_2,f(m_2))$,$f(1)=0$.若$a^2+(f(m_1)+f(m_2))a+f(m_1)\cdot f(m_2)=0$,则(  )
A.$b\geqslant 0$
B.$b<0$
C.$3a+c\leqslant 0$
D.$3a-c<0$


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正确答案是A.

分析与解 由$f(1)=0$,可得$c=-a-b$,因此\[f(x)=ax^2+bx-a-b,\]又\[(a+f(m_1))(a+f(m_2))=0,\]于是$f(m_1)=-a$或$f(m_2)=-a$,因此关于$x$的方程\[ax^2+bx-a-b=-a\]有实数解,也即\[\Delta=b^2+4ab=b(b+4a)\geqslant 0.\]又$a>b>c$,于是\[a>b>-a-b,\]从而可得\[b+4a=b+2a+2a>0,\]因此$b\geqslant 0$.

选项C等价于$2a-b\leqslant 0$,选项D等价于$4a+b<0$,均错误.

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