每日一题[802]平面向量的模长

已知$\overrightarrow m,\overrightarrow n$是两个非零向量,且$|\overrightarrow m|=2$,$|\overrightarrow m+2\overrightarrow n|=2$,则$|2\overrightarrow m+\overrightarrow n|+|\overrightarrow n|$的最大值是_______.


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正确答案是$\dfrac{8\sqrt 3}3$.

法一 向量法

设$\overrightarrow p=\overrightarrow m+2\overrightarrow n$,则$\overrightarrow n=\dfrac 12\overrightarrow p-\dfrac 12\overrightarrow m$,此时条件为\[\overrightarrow m^2=\overrightarrow p^2=4,\]所求代数式\[\begin{split}
|2\overrightarrow m+\overrightarrow n|+|\overrightarrow n|&=\left|\dfrac 32\overrightarrow m+\dfrac 12\overrightarrow p\right|+\left|\dfrac 12\overrightarrow p-\dfrac 12\overrightarrow m\right|\\&=\dfrac{\sqrt 3}2\left|\sqrt 3\overrightarrow m+\dfrac{1}{\sqrt 3}\overrightarrow p\right|+\dfrac 12\left|\overrightarrow m-\overrightarrow p\right|\\&\leqslant \sqrt{\left(\sqrt 3\overrightarrow m+\dfrac{1}{\sqrt 3}\overrightarrow p\right)^2+\left(\overrightarrow m-\overrightarrow p\right)^2}\\&=\sqrt{4\overrightarrow m^2+\dfrac 43\overrightarrow p^2}\\&=\dfrac{8}{\sqrt 3}.\end{split}\]其中提出的系数比$\sqrt 3:1$是为了可以抵消交叉项$\overrightarrow m\cdot \overrightarrow p$,写成坐标形式更直观:

法二 坐标法

设$\overrightarrow m =(2,0)$,$\overrightarrow m+2\overrightarrow n= (2\cos x,2\sin x)$,则$\overrightarrow n=(\cos x-1,\sin x)$,从而\[\begin{split}|2\overrightarrow m+\overrightarrow n|+|\overrightarrow n|&=\sqrt{(\cos x+3)^2+\sin ^2x}+\sqrt{(\cos x-1)^2+\sin ^2x}\\&=\sqrt{10+6\cos x}+\sqrt{2-2\cos x}\\&=\sqrt 3\cdot \sqrt{\dfrac{10}3+2\cos x}+1\cdot \sqrt{2-2\cos x}\\&\leqslant \sqrt{3+1}\cdot \sqrt{\dfrac{10}3+2}\\&=\dfrac{8}{\sqrt 3}.\end{split}\]当$\dfrac {10}3+2\cos x=3(2-2\cos x)$,即$\cos x=\dfrac 13$时取到等号.

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