每日一题[795]焦点弦长公式

已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{32}=1$,$F_1,F_2$是$E$的左、右焦点,$AB$是过$F_1$的焦点弦,且$\triangle AF_2B$的面积为$32$,求$|AB|$.


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分析与解 设$AB$的倾斜角为$\theta$,则\[|AB|=\dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\theta},\]其中$a^2=81$,$b^2=32$,$c^2=49$,因此$\triangle AF_2B$的面积\[\begin{split}
S&=\dfrac 12\cdot \sin\theta \cdot |F_1F_2|\cdot |AB|\\&=\dfrac 12\cdot \sin \theta \cdot 14 \cdot \dfrac{576}{32+49\sin^2\theta}\\&=\dfrac{4032\sin\theta}{32+49\sin^2\theta}\\&=32,\end{split}
\]解得$\sin\theta =\dfrac{2}{7}$,于是\[|AB|=\dfrac{576}{32+49\sin^2\theta}=16.\]

 焦点弦长公式及其推导见焦半径公式及其应用

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