过点$P(3,1)$的动直线$l$与双曲线$C:\dfrac{x^2}3-y^2=1$的左、右两支分别交于点$A,B$，在线段$AB$上取不同于$A,B$的点$Q$，满足$|AP|\cdot |QB|=|AQ|\cdot |PB|$，求证：点$Q$总在某条定直线上．
已知实数$a,b$满足$a^2\geqslant 4b$，求$(1-a)^2+(a-b)^2+(1-b)^2$的最小值．
函数$f(x)=\dfrac{3+5\sin x}{\sqrt{5+4\cos x+3\sin x}}$的值域是______．
设无穷项数列$\{a_n\}$满足：$a_{n+1}a_n+3a_{n+1}+a_n+4=0$，若$a_{2016}$为数列$\{a_n\}$中的最小项，则$a_1$的取值范围是______．
求$1+\dfrac{1}{1+\tan\dfrac{\pi}{2n+1}}+\dfrac{1}{1+\tan\dfrac{2\pi}{2n+1}}+\cdots +\dfrac{1}{1+\tan\dfrac{2n\pi}{2n+1}}$的值．
已知函数$f(x)=\ln (ax+1)+\dfrac{1-x}{1+x}$($x\geqslant 0$)．
(1)(2012年北京市朝阳区高三期末)若$f(x)$的最小值为$1$，求实数$a$的取值范围；
(2)(2012年北京市四中高三月考)若$f(x)$的最小值为$\ln 2$，求实数$a$的取值范围． 继续阅读
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)所在平面内有一个不与原点重合的点$P(x_0,y_0)$，过$P$作$E$的任意两条割线$AB,CD$，其中$A,B,C,D$均在椭圆$E$上．证明：直线$AC$和$BD$的交点在定直线上．
已知$n\in\mathcal N^*$，求证：$\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\cdots +\dfrac{1}{3n+1}<\dfrac{11}{10}$．
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若存在$a\in\mathcal R$，使关于$x$的不等式$x|x-a|<m$在$[0,1]$上恒成立，则实数$m$的取值范围是_______．
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