(1) 求证：$1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1{3^n}\geqslant \dfrac {7+4n}6$；
(2) 求证：$1+\dfrac 12+\dfrac 13+\cdots +\dfrac 1{2^n}\geqslant \dfrac{11+7n}{12}$．
已知实数$a,b,c$成等差数列($a,b$不全为$0$)，点$A(0,-3)$在直线$ax+by+c=0$上的射影为$M$，点$N(2,3)$，则$|MN|$的最大值为_______．
已知数列$\{a_n\}$中$a_1=2$，$a_{n+1}=\left(\sqrt 2-1\right)(a_n+2)$，$n=1,2,3,\cdots $．
(1) 求$\{a_n\}$的通项公式；
(2) 若数列$\{b_n\}$中，$b_1=2$，$b_{n+1}=\dfrac{3b_n+4}{2b_n+3}$，证明：$\sqrt 2<b_n\leqslant a_{4n-3}$，$n=1,2,3,\cdots$．
已知椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1)$的离心率为$\dfrac{\sqrt 3}2$，$P(m,n)$为圆$x^2+y^2=16$上任意一点，过$P$作椭圆的两条切线$PA,PB$．设切点分别为$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$．
(1) 证明：切线$PA$的方程为$\dfrac{x_1x}4+y_1y=1$；
(2) 设$O$为坐标原点，求$\triangle ABO$面积的最大值．
1．已知$a,b,c$为实数，且满足$a+b+c=15$，$a^2+b^2+c^2=100$，则$a$的最大值与最小值的积为_____．
若关于$x$的三次方程$x^3+ax^2+bx+c=0$有三个不同的实数根$x_1,x_2,x_3$，且$x_1< x_2< x_3$，$a,b$为常数，当$c$变化时，求$x_3-x_1$的取值范围．
在$\triangle ABC$中，$a,b,c$为等差数列，若$A-C=\dfrac{\pi}2$，求$a:b:c$．
已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}a_n-1=a_n^2$．
(1) 求证：$\sqrt{2n-1}\leqslant a_n\leqslant\sqrt{3n-2}$；
(2) 求整数$m$，使得$\left|a_{2005}-m\right|$的值最小．
