每日一题[664]射影的位置

已知实数$a,b,c$成等差数列($a,b$不全为$0$),点$A(0,-3)$在直线$ax+by+c=0$上的射影为$M$,点$N(2,3)$,则$|MN|$的最大值为_______.


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分析与解 代数计算
设$M(x,y)$,则$$\begin{cases} \overrightarrow {AM}\parallel (a,b),\\ax+by+c=0,\end{cases} $$即$$\begin{cases} bx-ay=3a,\\ ax+by=a-2b,\end{cases} $$解得$$\begin{cases} x=\dfrac{a^2+ab}{a^2+b^2},\\ y=\dfrac{-3a^2+ab-2b^2}{a^2+b^2},\end{cases} $$不妨设$a=r\sin\theta$,$b=r\cos\theta$,其中$r\ne 0$,则有$$\begin{cases} x=\dfrac{1-\cos2\theta}2+\dfrac 12\sin 2\theta,\\ y=-\dfrac{3(1-\cos 2\theta)}2-\left(1+\cos 2\theta\right)+\dfrac 12\sin2\theta,\end{cases} $$整理得$$\begin{cases} x-\dfrac 12=\dfrac 12\sin 2\theta-\dfrac 12\cos 2\theta,\\ y+\dfrac 52=\dfrac 12\cos 2\theta+\dfrac 12\sin 2\theta,\end{cases} $$这样就有$$\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y+\dfrac 52\right)^2=\dfrac 12,$$进而可得$|MN|$的最大值为$$\sqrt{\left(2-\dfrac 12\right)^2+\left(3+\dfrac 52\right)^2}+\sqrt{\dfrac 12}=\dfrac{\sqrt{130}+\sqrt{2}}2.$$
几何性质
$2b=a+c$等价于直线恒过点$T(1,-2)$.注意到$AM\perp TM$,于是$M$在以$AT$为直径的圆上.圆心坐标为$B\left(\dfrac 12,-\dfrac 52\right )$,半径为$r=\dfrac 12|AT|=\dfrac{\sqrt 2}{2}$.于是$|MN|$的最大值为$$|BN|+r=\sqrt{\left(2-\dfrac 12\right)^2+\left(3+\dfrac 52\right)^2}+\sqrt{\dfrac 12}=\dfrac{\sqrt{130}+\sqrt{2}}2.$$

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