每日一题[663]系数配凑

已知$2x^2+2y^2-xy=1$,求$3x^2+4y^2$的最大值.


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分析与解 条件即$$4x^2+4y^2-2xy=2,$$引入含参数$\lambda$的均值不等式$$-2xy\leqslant \lambda x^2+\dfrac{1}{\lambda}y^2,\lambda>0,$$以及$$-2xy\geqslant \lambda x^2+\dfrac{1}{\lambda}y^2,\lambda<0,$$于是考虑系数$$\left(4+\lambda\right):\left(4+\dfrac{1}{\lambda }\right)=3:4,$$解得$\lambda =-\dfrac 32$或$\lambda =\dfrac 12$.于是可得$$\dfrac 56\left(3x^2+4y^2\right)\leqslant 2\leqslant \dfrac 32\left(3x^2+4y^2\right),$$从而可得$3x^2+4y^2$的最大值为$\dfrac{12}5$,最小值为$\dfrac 43$.

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每日一题[663]系数配凑》有 3 条评论

  1. arockmath arockmath说:

    这题在$\lambda>0$时,不等号左边是否应该是$2xy$?

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