已知函数$y=\left(a\cos^2x-3\right)\sin x$的最小值为$-3$，求$a$的取值范围．
分析与解 问题即函数$f(x)=-ax^3+(a-3)x$在区间$[-1,1]$上的最小值为$-3$．函数$f(x)$的导函数为$$f'(x)=-3ax^2+(a-3).$$注意到$f(1)=-3$，于是$f'(1)\leqslant 0$，可得$a\geqslant -\dfrac 32$．
情形一 $-\dfrac 32\leqslant a\leqslant 3$．
此时恒有$f'(x)\leqslant 0$，函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上单调递减，符合题意．
情形二 $a>3$．
此时函数$f(x)$在区间$[-1,1]$上有极小值点$x=-\sqrt{\dfrac{a-3}{3a}}$，于是根据题意，有$$f\left(-\sqrt{\dfrac{a-3}{3a}}\right)\geqslant -3,$$即$$-\dfrac{2(a-3)}3\cdot\sqrt{\dfrac{a-3}{3a}}\geqslant -3,$$整理得$(a-12)(4a^2+12a+9)\leqslant 0$，解得$a\leqslant 12$．
综上所述，$a$的取值范围是$\left[-\dfrac 32,12\right]$．