已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A,B$ 两点，过点 $F$ 与 $l$ 垂直的直线交 $C$ 于 $D,E$ 两点，其中 $B,D$ 在 $x$ 轴上方，$M,N$ 分别为 $AB,DE$ 的中点．当 $l\perp x$ 轴时，$|AB|=\sqrt 2$，椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程；
2、证明：直线 $MN$ 过定点，并求定点坐标；
3、设 $G$ 为直线 $AE$ 与直线 $BD$ 的交点，$\triangle GMN$ 面积为 $\dfrac 9{20}$，求直线 $AB$ 的方程．
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上、下顶点与一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点，且点 $\left(1,\dfrac{\sqrt 6}2\right)$ 在椭圆上．
1、求椭圆 $C$ 的离心率及标准方程；
2、过点 $P(0,1)$ 且斜率存在的动直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，问在 $y$ 轴上是否存在与点 $P$ 不同的定点 $Q$，使得 $\dfrac{|QA|}{|QB|}=\dfrac{[{\triangle APQ}]}{[{\triangle BPQ}]}$ 恒成立？若存在 $Q$ 求出定点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．
已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别是 $F_1,F_2$，$M\left(1,\dfrac 3 2\right)$ 为 $C$ 上一点，且在 $\triangle F_1 MF_2$ 中，$\tan\angle MF_1 F_2=\dfrac 3 4$．
1、求椭圆 $C$ 的方程；
2、过点 $P(1,3)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A,B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的上方），线段 $AB$ 上存在点 $Q$，使得 $\dfrac{|PA|}{|PB|}=\dfrac{|QA|}{|QB|}$，求 $\left|QF_1\right|+\left|QF_2\right|$ 的最小值．
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的上顶点为 $D(0,3)$，四个顶点组成的四边形面积为 $18\sqrt 2$．
1、求椭圆 $E$ 的方程；
2、过点 $T(0,1)$ 的直线与椭圆 $E$ 交于两点 $A,B$，交 $x$ 轴于点 $Q$，直线 $DA,DB$ 与直线 $y=t$ 分别交于点 $M,N$，线段 $MN$ 的中点为 $P$．是否存在实数 $t$，使得以 $PQ$ 为直径的圆总与 $y$ 轴相切？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．
椭圆 $E: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的左顶点为 $A$，右顶点为 $B$，满足 $|A B|=4$，且椭圆 $E$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
1、求椭圆 $E$ 的标准方程；
2、已知点 $T\left(t, \dfrac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $E$ 的内部，直线 $A T$ 和直线 $B T$ 分别与椭圆 $E$ 交于另外的点 $C$ 和点 $D$，若 $\triangle C D T$ 的面积为 $\dfrac{1}{17}$，求 $t$ 的值．
已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_2$ 且斜率为 $\sqrt 3$ 的直线 $l$ 交双曲线右支于点 $A$（在第一象限），$\triangle AF_1 F_2$ 的内心为 $I$，直线 $AI$ 交 $x$ 轴于点 $P$，且 $|AI|=2|IP|$，则双曲线的离心率为_____．
已知三棱锥 $D-ABC$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，$AD\perp BD$，$AC\perp BC$，$\angle DAB=\angle CBA=30^{\circ}$，二面角 $D-AB-C$ 的大小为 $60^{\circ}$，若球 $O$ 的表面积等于 $36\pi$，则三棱锥 $D-ABC$ 的体积等于[[nn]] A．$\sqrt 3$ B．$\dfrac{27\sqrt 3}8$ C．$\sqrt 7$ D．$\dfrac{2\sqrt 7}3$已知三棱锥 $D-ABC$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，$AD\perp BD$，$AC\perp BC$，$\angle DAB=\angle CBA=30^{\circ}$，二面角 $D-AB-C$ 的大小为 $60^{\circ}$，若球 $O$ 的表面积等于 $36\pi$，则三棱锥 $D-ABC$ 的体积等于（ ）
A．$\sqrt 3$
B．$\dfrac{27\sqrt 3}8$
C．$\sqrt 7$
D．$\dfrac{2\sqrt 7}3$
已知 $O$ 为坐标原点，双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}= 1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别是 $F_1,F_2$，离心率为 $\dfrac{\sqrt 6}2$，点 $P\left(x_1,y_1\right)$ 是 $C$ 的右支上异于顶点的一点，过 $F_2$ 作 $\angle F_1 PF_2$ 的平分线的垂线，垂足是 $M$，$|MO|=\sqrt 2$，若双曲线 $C$ 上一点 $T$ 满足 $\overrightarrow{F_1 T}\cdot\overrightarrow{F_2 T}=5$，则点 $T$ 到双曲线 $C$ 的两条渐近线距离之和为（ ）
A．$2\sqrt 2$
B．$2\sqrt 3$
C．$2\sqrt 5$
D．$2\sqrt 6$
已知双曲线 $C: x^2-\dfrac{y^2}{24}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，$P$ 为双曲线 $C$ 第一象限上一点，$\angle F_1 PF_2$ 的角平分线为 $l$，过点 $O$ 作 $PF_2$ 的平行线，分别与 $PF_1,l$ 交于 $M,N$ 两点，若 $|MN|=\dfrac 2 3\left|PF_2\right|$，则 $\triangle PF_1 F_2$ 的面积为（ ）
A．$20$
B．$12$
C．$24$
D．$10$
设双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_1$ 的直线分别交双曲线的左、右两支于 $M,N$．若以 $MN$ 为直径的圆经过右焦点 $F_2$，且 $\left|MF_2\right|=\left|NF_2\right|$，则双曲线的离心率为（ ）
A．$\sqrt 6$
B．$\sqrt 5$
C．$\sqrt 3$
D．$\sqrt 2$
