已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_2$ 且斜率为 $\sqrt 3$ 的直线 $l$ 交双曲线右支于点 $A$（在第一象限），$\triangle AF_1 F_2$ 的内心为 $I$，直线 $AI$ 交 $x$ 轴于点 $P$，且 $|AI|=2|IP|$，则双曲线的离心率为_____．
答案 $\dfrac 54$．
解析 设双曲线的半焦距为 $c$，根据双曲线的焦半径公式二，有\[|AF_2|=\dfrac{b^2}{a-c\cos\frac{\pi}3}=\dfrac{2b^2}{2a-c},\]于是\[|AI|=2|IP|\implies [\triangle AF_1F_2]=3[\triangle IF_1F_2],\]
于是\[ \dfrac 12(|AF_1|+|AF_2|+|F_1F_2|)\cdot r=3\cdot \left(\dfrac12\cdot |F_1F_2|\cdot r\right),\]其中 $r$ 为 $\triangle AF_1F_2$ 的内切圆半径．因此\[\dfrac{2b^2}{2a-c}\cdot 2+2a+2c=3\cdot 2c,\]将 $b^2=c^2-a^2$ 代入整理可得双曲线的离心率 $\dfrac ca=\dfrac 54$．