椭圆 $E: \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$（$a>b>0$）的左顶点为 $A$，右顶点为 $B$，满足 $|A B|=4$，且椭圆 $E$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$．
1、求椭圆 $E$ 的标准方程；
2、已知点 $T\left(t, \dfrac{1}{2}\right)$ 在椭圆 $E$ 的内部，直线 $A T$ 和直线 $B T$ 分别与椭圆 $E$ 交于另外的点 $C$ 和点 $D$，若 $\triangle C D T$ 的面积为 $\dfrac{1}{17}$，求 $t$ 的值．
解析
1、椭圆的长轴长 $|AB|=4$，于是 $a=2$，离心率 $\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 3}2$，于是 $b=1$，从而椭圆 $ E $ 的标准方程为 $ \dfrac{x^2}4+y^2=1$．
2、设 $C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$，记 $B(a,0)$，则 $BT:x=a+2(t-a)y$，与椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1$ 联立可得\[(\left(4(t-a)^2+a^2\right)y^2+4a(t-a)y=0,\]于是\[y_2=\dfrac{4a(a-t)}{4(a-t)^2+a^2},\]分别令 $a=2,-2$，可得\[y_1=\dfrac{2t+4}{t^2+4t+5},\quad y_2=\dfrac{-2t+4}{t^2-4t+5},\]于是\[(t^2+5)y_1-4=(2-4y_1)t,\quad (t^2+5)y_2-4=(2-4y_2)(-t),\]因此 $y_1,y_2$ 是关于 $y$ 的方程\[\left((t^2+5)y-4\right)^2=(2-4y)^2t^2,\]的两个实根，而根据三角形面积坐标公式，有 $^{[1]}$\[\begin{split} [\triangle CDT]&=\dfrac 12\left|(x_1-t)\left(y_2-\frac 12\right)-(x_2-t)\left(y_1-\frac 12\right)\right|\\ &=\dfrac 12\left|(t+2)(2y_1-1)\left(y_2-\dfrac 12\right)-(t-2)(2y_2-1)\left(y_1-\dfrac 12\right)\right|\\ &=4\left(\dfrac 12-y_1\right)\left(\dfrac 12-y_2\right),\end{split}\]将方程变形为\[\dfrac{\left((t^2+5)y-4\right)^2-(2-4y)^2t^2}{(t^2+5)^2-16t^2}=(y-y_1)(y-y_2),\] 所以\[\dfrac{\left(\dfrac{t^2+5}2-4\right)^2}{(t^2+5)^2-16t^2}=\dfrac{1}{68}\iff \dfrac{t^4-6t^2+9}{t^4-6t^2+25}=\dfrac{1}{17}\iff t^4-6t^2=8,\]于是 $t=\pm 2$（舍去）或 $t=\pm \sqrt 2$，因此所求 $t$ 的值为 $\pm\sqrt 2$．
备注 $[1]$ 也可以注意到 $\triangle ABT$ 的面积为 $1$，进而\[\dfrac{[\triangle CDT]}{[\triangle ABT]}=\dfrac{1}{17}\iff \dfrac{\left(y_1-\frac 12\right)\left(y_2-\frac 12\right)}{\frac 12\cdot \frac 12}=\dfrac{1}{17}\iff\left(\dfrac 12-y_1\right)\left(\dfrac 12-y_2\right)=\dfrac{1}{68},\]