已知双曲线 $C=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_1$ 作直线分别交双曲线的左、右两支于 $M,N$ 两点，满足 $\overrightarrow{NF_2}=2\overrightarrow{NP}$，且 $\overrightarrow{MP}\cdot\left(\overrightarrow{MF_2}-\overrightarrow{MN}\right)=0$，$\angle F_1 NF_2=\dfrac{\pi}3$，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（ ）
A．$y=\pm\sqrt 6 x$
B．$y=\pm\sqrt 7 x$
C．$y=\pm 2\sqrt 2 x$
D．$y=\pm 3 x$
已知 $a=\log_{26}78$，$b=1.25^{0.9}$，$c=\log_9 18$，则 $a,b,c$ 的大小关系为（ ）
A．$a>b>c$
B．$a>c>b$
C．$c>b>a$
D．$c>a>b$
已知三棱锥 $P-ABC$ 的四个顶点在球 $O$ 的球面上，$PA=PB=PC$，$\triangle ABC$ 是边长为 $2$ 的正三角形，$E,F$ 分别是 $PA,AB$ 的中点，$\angle CEF=90^\circ$，则球 $O$ 的体积为（ ）
A．$8\sqrt 6\pi$
B．$4\sqrt 6\pi$
C．$2\sqrt 6\pi$
D．$\sqrt 6\pi$
在各棱长均为 $1$ 的正三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，$D,E$ 分别为 $BB_1,B_1 C_1$ 的中点，过 $A,D,E$ 三点的截面将三棱柱分成上下两部分，记体积较小部分的体积为 $V_1$，另一部分的体积为 $V_2$，则 $\dfrac{V_1}{V_2}$ 的值为（ ）
A．$\dfrac{13}{21}$
B．$\dfrac{13}{23}$
C．$\dfrac 3 5$
D．$\dfrac 9{11}$
圆台的上底面半径为 $1$，下底面半径为 $2$，母线长为 $4$．已知 $P$ 为该圆台某条母线的中点，若一质点从点 $P$ 出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点 $P$，则该质点运动的最短路径长为（ ）
A．$6\sqrt 2$
B．$6$
C．$6\pi$
D．$3\pi$
在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环．为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地 $ABCD$ 改造为绿化公园，并拟计划修建主干路 $AC$ 与 $BD$．为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，$AD\perp AC$，$AB\perp BC$，$AC$ 平分 $\angle BCD$，$BD=CD$，则 $\cos\angle ACD=$ （ ）
A．$\dfrac{\sqrt 6}3$
B．$\dfrac{2\sqrt 2}9$
C．$\dfrac{2\sqrt 2}3$
D．$\dfrac{\sqrt 3}3$
如图，已知点 $E$ 是 $ABCD$ 的边 $AB$ 的中点，$F_n$（$n\in \mathbb N^{\ast}$）为边 $BC$ 上的一列点，连接 $AF_n$ 交 $BD$ 于 $G_n$，点 $G_n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）满足 $\overrightarrow{G_n D}=a_{n+1}\cdot\overrightarrow{G_n A}-2\left(2 a_n+3\right)\cdot\overrightarrow{G_n E}$，其中数列 $\left\{a_n\right\}$ 是首项为 $1$ 的正项数列，$S_n$ 是数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，则下列结论正确的有[[nn]]
A．$a_3=13$
B．数列 $\left\{a_n+3\right\}$ 是等比数列
C．$a_n=4 n-3$
D．$S_n=2^{n+2}-3 n-4$
2025年1月湖北省武汉市高三数学调研考试 #14
在 $\triangle ABC$ 中，$BC=8$，点 $D$ 是 $BC$ 上的点 $,AD$ 平分 $\angle BAC$，$\triangle ABD$ 面积是 $\triangle ADC$ 面积的 $3$ 倍，当 $\triangle ABC$ 的面积最大时，$\sin\angle BAC=$ _____．
2025年1月湖北省武汉市高三数学调研考试 #11
数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线 $E: x^2+(y-|x|)^2=1$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C,D$ 两点，点 $P$ 是 $E$ 上一个动点，则（ ）
A．点 $(1,2)$ 在 $E$ 上
B．$\triangle PAB$ 面积的最大值为 $1$
C．曲线 $E$ 恰好经过 $3$ 个整点（即横，纵坐标均为整数的点）
D．$|PC|+|PD|\leqslant 2\sqrt 3$
