2025年浙江镇海中学高一数学期中考试 #8
已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，若 $a\in(0,1)$，记 $f(x)=\big|x-[x+a]\big|+\big|x-[x-a]\big|$，且 $\forall x\in \mathbb R$，有 $f(x)\leqslant M(a)$ 恒成立，则 $M(a)$ 的最小值为（ ）
A．$1$
B．$\dfrac 3 2$
C．$\dfrac 5 3$
D．$2$
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每日一题[3987]抽象函数
2025年浙江镇海中学高一数学期中考试 #11
已知定义在 $(-1,1)$ 上的函数 $f(x)$ 满足：
① 对任意 $x,y\in(-1,1)$ 都有 $f(x)+f(y)=f\left(\dfrac{x+y}{1+x y}\right)$；
② 当 $x>0$ 时，$f(x)>0$． 则下列说法中正确的是（ ）
A．$f(x)$ 是奇函数
B．$f(x)$ 是减函数
C．若 $f\left(\dfrac 1 5\right)=\dfrac 1 2$，则 $f\left(\dfrac 1 2\right)-f\left(\dfrac 1 7\right)=1$
D．$f\left(\dfrac 1{11}\right)+f\left(\dfrac 1{19}\right)+f\left(\dfrac 1{29}\right)+f\left(\dfrac 1{41}\right)<f\left(\dfrac 1 3\right)$
每日一题[3986]黎曼函数
2025年浙江镇海中学高一数学期中考试 #14
黎曼函数是由德国数学家波恩哈德 $\cdot $ 黎曼发现并提出的，其在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在 $[0,1]$ 上，其解析式为\[R(x)=\begin{cases}\dfrac 1 p,&x=\dfrac q p,(p,q)=1,p>q,\\0,&x\in \{x\notin \mathbb Q\mid x\in [0,1]\}\cup\{0,1\},\end{cases}\]若定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(3 x)+f(2-3 x)=0$，且 $f(x+2)$ 为偶函数，当 $x\in[0,1)$ 时，$f(x)=R(x)$，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2025}f\left(\dfrac k 4\right)=$_____．
每日一题[3985]相关函数
2025年浙江镇海中学高一数学期中考试 #19
已知函数 $f(x)=-\dfrac t x+\ln (\mathrm e x)$，$g(x)=\dfrac{t x}{\mathrm e}+\ln x$．（注：$\mathrm e=2.71828\cdots$ 是自然对数的底数）
1、若 $t=0$，求不等式 $f(x)+g(x)\geqslant 3$ 的解集；
2、若 $t>0$，且实数 $x_1,x_2$ 满足 $f\left(x_1\right)=0$，$g\left(x_2\right)=0$，
① 证明：$\dfrac 1{\mathrm e}<x_1 x_2<\mathrm e$；
② 若 $x_1,x_2$ 满足 $\ln\dfrac{x_1}{x_2}\geqslant 5-3\ln 2$，求 $x_1 x_2$ 的最小值．
每日一题[3984]完美集
2025年广东深圳中学高一数学期中考试 #19
已知有限集 $A=\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\}$（$n \geqslant 2$，$ n \in \mathbb N$），如果 $A$ 中的元素 $a_{i}$（$i=1,2, \cdots, n$）满足 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=a_{1} \cdot a_{2} \cdots a_{n}$，就称 $A$ 为完美集．
1、判断集合 $\left\{-1-\sqrt{3},-1+\sqrt{3}\right\}$ 是否是完美集并说明理由；
2、$a_{1} , a_{2}$ 是两个不同的正数，且 $\left\{a_{1}, a_{2}\right\}$ 是完美集，求证：$a_{1} , a_{2}$ 至少有一个大于 $2$；
3、若 $a_i$（$i=1,2,\cdots,n$）为正整数，求完美集 $A$．
每日一题[3983]相关函数
2025年四川南充市高考一诊数学试卷 #8
已知函数 $f(x)=\mathrm e^x-x$，$g(x)=x-\ln x$，若直线 $y=a$ 与两条曲线 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 共有四个不同的交点 $\left(x_1,y_1\right),\left(x_2,y_2\right),\left(x_3,y_3\right),\left(x_4,y_4\right)$，且 $x_1<x_2<x_3<x_4$，则 $\dfrac{x_1+x_4}{x_2+x_3}$ 的值为（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．$4$
每日一题[3982]朗博函数
2025年四川南充市高考一诊数学试卷 #11
已知函数 $f(x)=x^x$（$x>0$），则下列说法中正确的有（ ）
A．$\ln f(x)=x\ln x$
B．$y=f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程为 $x-y=0$
C．若函数 $g(x)=\ln (a f(x))$，存在 $x\in(0,+\infty)$ 使得 $g(x)\leqslant 0$ 成立，则 $0<a\leqslant \mathrm e^{\mathrm e}$
D．若函数 $h(x)=\ln f(x)-x-m$ 有两个零点 $x_1,x_2$，则 $x_1+x_2<\mathrm e$
每日一题[3981]含参讨论
2025年四川南充市高考一诊数学试卷 #19
已知实数 $a>0$，函数 $f(x)=\ln (1+a x)-\dfrac{2 x}{x+2}$．
1、当 $a=\dfrac 1 2$ 时，求 $f(x)$ 的极值；
2、讨论 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的单调性；
3、设 $n\in\mathbb N^{\ast}$，证明：$\dfrac 2{2^2+3}+\dfrac 2{2^3+3}+\cdots+\dfrac 2{2^{n+1}+3}\leqslant\dfrac 2 7+\ln\dfrac{3\cdot 2^{n-1}}{2^n+1}$．
每日一题[3980]分离变量
2025年12月T8联考高三数学试卷 #8
已知函数 $f(x)=\begin{cases}\mathrm e^x(2 x-1),&x>0,\\k(x+1),&x<0,\end{cases}$ 且 $g(x)=f(x)+f(-x)$，若 $y=g(x)$ 恰有 $4$ 个零点，则实数 $k$ 的取值范围是（ ）
A．$(-\infty,1)$
B．$\left(4\mathrm e^{\frac 3 2},+\infty\right)$
C．$\left(1,4\mathrm e^{\frac 3 2}\right)$
D．$(1,+\infty)$
每日一题[3979]转移阵地
2025年12月T8联考高三数学试卷 #10
已知函数 $ f(x)=\sin(\pi x)$，$ g(x)=x-\dfrac 1 x-\ln x$，$h(x)=f(x)\cdot g(x)$，则下列说法正确的是（ ）
A．$g\left(\dfrac 1 x\right)+g(x)=0$
B．不等式 $g(x)>0$ 的解集为 $(0,1)$
C．$h\left(\dfrac{16}3\right)<h\left(\dfrac 3{11}\right)$
D．$1$ 为函数 $h(x)$ 的极大值点