已知 $\triangle ABC$ 中，$AB=5$，$BC=12$，$CA=13$，$P$ 是 $\triangle ABC$ 内一点且 $\angle APB=\angle BPC=\angle CPA=120^\circ$，则 $\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PA}=$ [[nn]]．
每日一题[3815]暗恋者
$n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$，$n\geqslant 3$）个人相互传球，传球规则如下：若球由甲手中传出，则甲传给乙；否则，传球者等可能地将球传给另外的 $n-1$ 个人中的任何一个．第一次传球由甲手中传出，第 $k$（$k\in\mathbb N^{\ast}$）次传球后，球在甲手中的概率记为 $A_n(k)$，球在乙手中的概率记为 $B_n(k)$．
1、求 $A_5(2),B_5(2),A_5(3),B_5(3)$；
2、求 $A_n(k)$； 比较 $B_n(k+1)$ 与 $\dfrac{n-2}{n-1}A_n(k)$ 的大小，并说明理由．
每日一题[3814]放缩处理指对
已知函数 $f(x)=a\ln (x+1)-x \mathrm e^{x+1}$．
1、当 $a<0$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；
2、若函数 $f(x)$ 存在正零点 $x_0$，
① 求 $a$ 的取值范围；
② 记 $x_1$ 为 $f(x)$ 的极值点，证明：$x_0<3 x_1$．
每日一题[3813]换元与估计
设函数 $f(x)=\dfrac {\mathrm e}{2 x}+\ln x$（$x>0$）．
1、求 $f(x)$ 的单调区间；
2、已知 $a,b\in \mathbb R$，曲线 $y=f(x)$ 上不同的三点 $\left(x_1,f\left(x_1\right)\right),\left(x_2,f\left(x_2\right)\right),\left(x_3,f\left(x_3\right)\right)$ 处的切线都经过点 $(a,b)$．证明：
① 若 $a>\mathrm e$，则 $0<b-f(a)<\dfrac 1 2\left(\dfrac a {\mathrm e}-1\right)$；
② 若 $0<a<\mathrm e$，$x_1<x_2<x_3$，则 $\dfrac 2 e+\dfrac{\mathrm e-a}{6 \mathrm e^2}<\dfrac 1{x_1}+\dfrac 1{x_3}<\dfrac 2 a-\dfrac{\mathrm e-a}{6 \mathrm e^2}$．
每日一题[3812]分析通项
设函数 $f(x)=\dfrac x{1+x}-\ln (1+x)$，$g(x)=\ln (1+x)-b x$．
1、求函数 $f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程；
2、是否存在实数 $b$，使得关于 $x$ 的不等式 $g(x)<0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立？若存在，求出 $b$ 的取值范围；若不存在，说明理由；
3、证明：不等式 $\dfrac 1 n+\ln\dfrac n {\mathrm e}<\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac k{k^2+1}\leqslant\dfrac 1 2+\ln n$．
每日一题[3811]级数大杂烩
已知数列 $\left\{a_n\right\}$，$a_1=9$，$a_{n+1}=3 a_n+6\cdot 3^n$，$S_n$ 是 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．
1、证明：数列 $\left\{\dfrac{a_n}{3^n}\right\}$ 为等差数列；
2、求 $S_n$；
3、若 $b_n=\begin{cases}\dfrac{2 n}{S_n-n},&n~\text{为奇数,}\\(-1)^{\frac n 2+1}\cdot\dfrac{2\cdot 3^{n+1}}{S_n},&n~\text{为偶数},\end{cases}$ 记数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，证明：$T_{4 n}<1$．参考数据：$\ln 2\approx 0.69$．
每日一题[3810]发散级数
若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\sqrt{a_n^2+d}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．其中 $d\neq 0$，$a_n>0$，则称数列 $\left\{a_n\right\}$ 为 $M$ 数列．
1、已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 为 $M$ 数列，当 $d=1$，$a_1=1$ 时．
① 求证：数列 $\left\{a_n^2\right\}$ 是等差数列，并写出数列 $\left\{a_n\right\}\left(n\in\mathbb N^{\ast}\right)$ 的通项公式；
② $T_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{2 n}\left(\left(a_k^4+a_k^2\right)(-1)^k\right)$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．求 $\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac 1{T_k}$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）．
3、若 $\left\{a_n\right\}$ 是 $M$ 数列（$n\in\mathbb N^{\ast}$），且 $d>0$，证明：存在正整数 $n$．使得 $\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac 1{a_i}>2024$．
每日一题[3809]一个萝卜一个坑
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_1=1$，$a_2=a$．
1、若数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列，且 $a_8=15$，求实数 $a$ 的值；
2、若数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_{n+2}-a_n=2$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），且 $S_{19}=19 a_{10}$，求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等差数列；
3、设数列 $\left\{a_n\right\}$ 是等比数列，试探究当正实数 $a$ 满足什么条件时，数列 $\left\{a_n\right\}$ 具有如下性质 $M$：对于任意的 $n\geqslant 2$（$n\in\mathbb N^{\ast}$），都存在 $m\in\mathbb N^{\ast}$ 使得 $\left(S_m-a_n\right)\left(S_m-a_{n+1}\right)<0$，写出你的探求过程，并求出满足条件的正实数 $a$ 的集合．
每日一题[3808]求和与差分
已知公差不为零的等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 和等比数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $a_1=b_1=1$，且 $a_1,2 a_2,4 a_4$ 成等比数列，$4 b_2,2 b_3,b_4$ 成等差数列．
1、求数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式；
2、令 $c_n=3^{a_n}$，去掉数列 $\left\{c_n\right\}$ 中的第 $3 n$ 项（$n\in \mathbb N^{\ast}$），余下的项顺序不变，构成新数列 $\left\{t_n\right\}$，求数列 $\left\{t_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$；
3、令 $d_n=\dfrac{a_n}{b_n}$，记数列 $\left\{d_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$，数列 $\left\{\dfrac 1{a_n^2}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $A_n$，若数列 $\left\{p_n\right\}$ 满足 $p_1=d_1$，且对任意 $n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，都有 $p_n=\dfrac{T_{n-1}}{n^2}+A_n d_n$，设 $\left\{p_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $E_n$，若对任意 $n\in \mathbb N^{\ast}$ 都有 $m>E_n$ 成立，求正整数 $m$ 的最小值． （参考数据：$\displaystyle\sum_{i=1}^{20}\dfrac 1{i^2}\approx 1.59616$，$\displaystyle\sum_{i=1}^{20}\dfrac i{2^{i-1}}\approx 3.99996$）
每日一题[3807]并项放缩
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_2=3$，$a_{n+1}=S_n+n+1$．
1、证明：数列 $\left\{a_n+1\right\}$ 是等比数列．
2、设 $b_n=\log_2\left(a_n+1\right)$，求数列 $\left\{a_n b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$．
3、设 $c_n=\begin{cases}a_n,&n=2 k-1,\\a_n+2,&n=2 k,\end{cases}$ 其中 $k\in \mathbb N^{\ast}$，证明：$\displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac 1{c_i}<\dfrac 3 2$．