已知三棱锥 $D-ABC$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，$AD\perp BD$，$AC\perp BC$，$\angle DAB=\angle CBA=30^{\circ}$，二面角 $D-AB-C$ 的大小为 $60^{\circ}$，若球 $O$ 的表面积等于 $36\pi$，则三棱锥 $D-ABC$ 的体积等于[[nn]] A．$\sqrt 3$ B．$\dfrac{27\sqrt 3}8$ C．$\sqrt 7$ D．$\dfrac{2\sqrt 7}3$已知三棱锥 $D-ABC$ 的所有顶点都在球 $O$ 的球面上，$AD\perp BD$，$AC\perp BC$，$\angle DAB=\angle CBA=30^{\circ}$，二面角 $D-AB-C$ 的大小为 $60^{\circ}$，若球 $O$ 的表面积等于 $36\pi$，则三棱锥 $D-ABC$ 的体积等于（ ）
A．$\sqrt 3$
B．$\dfrac{27\sqrt 3}8$
C．$\sqrt 7$
D．$\dfrac{2\sqrt 7}3$
答案 B．
解析 先证明 $O$ 为 $AB$ 的中点，由于 $\angle ACB=\angle ADB=90^\circ$，于是\[OA=OB=OC=OD,\]因此 $O$ 为三棱锥 $D-ABC$ 外接球球心，进而可得 $AB=6$．过 $D$ 作 $AB$ 的垂线，垂足为 $H$，则 $|DH|=\dfrac{3\sqrt 3}2$，于是\[d(D,ABC)=\sin\langle D-AB-C\rangle \cdot |DH|=\dfrac 94,\]进而三棱锥 $D-ABC$ 的体积为\[\dfrac13\cdot [\triangle ABC]\cdot d(D,ABC)=\dfrac 13\cdot \dfrac{9\sqrt 3}2\cdot \dfrac 94=\dfrac{27\sqrt 3}8.\]