已知$\overrightarrow m,\overrightarrow n$是两个非零向量，且$|\overrightarrow m|=2$，$|\overrightarrow m+2\overrightarrow n|=2$，则$|2\overrightarrow m+\overrightarrow n|+|\overrightarrow n|$的最大值是_______．
(1) 求函数$f(x)=x\ln x-(1-x)\ln (1-x)$在$0<x\leqslant \dfrac 12$上的最大值；
(2) 已知$0<x<1$，求证：$x^{1-x}+(1-x)^x\leqslant \sqrt 2$．
已知直线$l:x=t$与椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)相交于$A,B$两点，$M$是椭圆$C$上一点，设直线$MA,MB$分别与$x$轴交于$E,F$两点，$O$为坐标原点，求证：$|OE|\cdot |OF|$为定值．
已知$x>2y>0$，$\dfrac x2+\dfrac 1y+\dfrac 8{x-2y}=10$，求$x$的最大值．
已知数列$\{a_n\}$和$\{b_n\}$满足$a_1=2$，$b_n=\dfrac{2(a_n+2)}{a_{n+1}-a_n}$．
(1)若$b_n=4a_n$，求证：$a_n\geqslant \dfrac{n+2}2$；
(2)若$(b_{n+1}-b_n)a_n=2(b_n+2)$且$b_1=3$，求证：$a_n<18$．
如图，两个正三角形$ABC,A_1B_1C_1$组成“六芒星”，$O$为“六芒星”的中心，$P$为“六芒星”图案上一点(边界上)，且$\overrightarrow {OP}=x\overrightarrow {OD}+y\overrightarrow {OC_1}$，则$x+y$的取值范围是________．
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已知$a,b\in\mathbb R$，若函数$f(x)=|a\sin x+b\cos x-1|+|b\sin x-a\cos x|$的最大值为$11$，则$a^2+b^2$的值是______．
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{81}+\dfrac{y^2}{32}=1$，$F_1,F_2$是$E$的左、右焦点，$AB$是过$F_1$的焦点弦，且$\triangle AF_2B$的面积为$32$，求$|AB|$．
已知关于$x$的方程$x^3-3x+4=0$的三个根分别为$a,b,c$，求$(a-b)(b-c)(c-a)$的值．
是否存在正整数$a$，使得${\rm e}^x-ax\geqslant x^2\ln x$对一切$x>0$恒成立？若存在，求出$a$的最大值；若不存在，请说明理由．
