已知函数$f(x)=\begin{cases}(2-[x])\cdot |x-1|,& x\in[0,2),\\1,&x=2,\end{cases}$其中$[x]$表示不超过$x$的最大整数．设$n\in\mathbb N^*$，$f_1(x)=f(x)$，$f_{n+1}(x)=f(f_n(x))$，有以下说法：
(1) 函数$y=\sqrt{x-f(x)}$的定义域为$\left[\dfrac 23,2\right]$；
(2) 设集合$A=\{0,1,2\}$，$B=\{x \mid f_3(x)=x,x\in A\}$，则$A=B$；
(3) $f_{2016}\left(\dfrac 89\right)+f_{2017}\left(\dfrac 89\right)=\dfrac{13}9$；
(4) 若集合$M=\{x \mid f_{12}(x)=x,x\in [0,2]\}$，则$M$中至少包含$8$个元素．
指出上述说法中哪些是正确的，并说明理由．
已知函数$f(x)=|ax^2+bx+c|$满足$f(2),f(0),f(-2)\leqslant 2$，求$f(x)$在区间$[-2,2]$上的最大值．
数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$na_{n+1}=(n+2)a_n+n$，$b_n=\dfrac{a_n}{n(n+1)}$．
(1) 求$b_n$和$a_n$；
(2) 求证：$\dfrac n2\leqslant \dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+\cdots+\dfrac{1}{a_{n+1}}+b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2\leqslant \dfrac{2n^2-4n+4\sqrt n-1}{2n}$．
已知函数$f(x)=\dfrac{\ln x}{1+x}-\ln x+\ln (x+1)$，是否存在实数$a$，使得关于$x$的不等式$f(x)\geqslant a$的解集为$(0,+\infty)$？若存在，求$a$的取值范围；若不存在，请说明理由．
已知抛物线$C:y^2=4x$的焦点为$F$，直线$MN$过焦点$F$且与抛物线$C$交于$M,N$两点，$P$为抛物线$C$准线$l$上一点，且$PF\perp MN$．连结$PM$交$y$轴于$Q$点，过$Q$作$QD\perp MF$于点$D$，若$|MD|=2|FN|$，求$|MF|$．
定义在$\mathbb R$上的奇函数$f(x)$满足$f(2+x)=f(2-x)$，当$x\in [0,2]$时，$f(x)=-4x^2+8x$．若在区间$[a,b]$上，存在$m(m\geqslant 3)$个不同的整数$x_i$(其中$i=1,2,\cdots,m$)满足$\displaystyle \sum_{i=1}^{m-1}{\left|f(x_i)-f(x_{i+1})\right|}\geqslant 72$，求$b-a$的最小值．
已知函数$f(x)=-\dfrac 13x^3+x^2-ax$有三个零点$0,x_1,x_2$，且$x_1<x_2$．若对任意的$x\in [x_1,x_2]$，$f(x)>f(1)$恒成立，求实数$a$的取值范围．
已知$a\left(x^2-1\right)-\dfrac 1x-\ln x+{\rm e}^{1-x}>0$对任意$x>1$恒成立，求$a$的取值范围．
已知正$\triangle ABC$的顶点$A,B$在抛物线$y^2=4x$上，另一个顶点$C(4,0)$，求符合题意的正三角形$\triangle ABC$的个数．
已知椭圆$E:\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，过点$P(2,1)$作直线与椭圆相交于$M,N$，过点$N$作斜率为$-\dfrac 32$的直线与椭圆交于另一点$Q$，求证：直线$MQ$过定点．
