每日一题[835]摸着石头过河

已知函数$f(x)=\dfrac{\ln x}{1+x}-\ln x+\ln (x+1)$,是否存在实数$a$,使得关于$x$的不等式$f(x)\geqslant a$的解集为$(0,+\infty)$?若存在,求$a$的取值范围;若不存在,请说明理由.


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解 $a$存在,$a$的取值范围是$(-\infty,0]$.

不等式$f(x)\geqslant a$即\[(x+1)\ln (x+1)-x\ln x\geqslant a(x+1),\]注意到$\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x=0$,于是当$x\to 0^+$时,左边趋于$0$,因此$a\leqslant 0$.下面进行讨论.

情形一 $a\leqslant 0$.此时\[LHS=x\cdot \ln\dfrac{x+1}{x}+\ln (x+1)>0\geqslant a(x+1),\]符合题意.

情形二 $a>0$.我们去寻找$x_0$,使$(x_0+1)\ln (x_0+1)<\dfrac a2$和$x_0\ln\dfrac 1{x_0}<\dfrac a2$同时成立,这样就有当$x=x_0$时,有\[LHS=(x_0+1)\ln(x_0+1)+x_0\ln \dfrac{1}{x_0}<\dfrac a2+\dfrac a2<a<a(x_0+1),\]不符合题意.

先寻找$(x+1)\ln(x+1)<\dfrac a2$的充分条件.由于\[(x+1)\ln(x+1)<x(x+1)=x^2+x,\]于是当$0<x<\dfrac{-1+\sqrt{1+2a}}{2}$时,就有\[(x+1)\ln(x+1)<x^2+x<\dfrac a2.\]
再寻找$x\ln\dfrac 1x<\dfrac a2$的充分条件,由于\[x\ln\dfrac 1x<x\cdot 2\left(\dfrac 1{\sqrt x}-1\right)=2\sqrt x-2x<2\sqrt x,\]于是当$x<\dfrac{a^2}{16}$时,就有\[x\ln\dfrac 1x<2\sqrt x<\dfrac a2. \]综上,取\[x_0=\dfrac 12\min\left\{\dfrac{-1+\sqrt{1+2a}}{2},\dfrac{a^2}{16}\right\}\]即可.

综合以上两种情形,$a$的取值范围是$(-\infty,0]$.

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