每日一题[837]构造函数证最值

已知函数$f(x)=|ax^2+bx+c|$满足$f(2),f(0),f(-2)\leqslant 2$,求$f(x)$在区间$[-2,2]$上的最大值.


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正确答案是$\dfrac 52$.

分析与解 记$g(x)=ax^2+bx+c$,则$f(x)=|g(x)|$.

根据题意,有\[\begin{cases}g(2)=4a+2b+c,\\ g(0)=c,\\ g(-2)=4a-2b+c,\end{cases}\]于是解得\[\begin{cases}a=\dfrac 18g(2)+\dfrac 18g(-2)-\dfrac 14g(0),\\ b=\dfrac 14g(2)-\dfrac 14g(-2),\\ c=g(0),\end{cases}\]从而\[f(x)=\left|g(2)\cdot \left(\dfrac 18x^2+\dfrac 14x\right)+g(-2)\cdot\left(\dfrac 18x^2-\dfrac 14x\right)+g(0)\cdot \left(-\dfrac 14x^2+1\right)\right|,\]考虑到对称性,不妨设$x\in [0,2]$,于是\[\begin{aligned} \dfrac 18x^2+\dfrac 14x\geqslant 0,\\ \dfrac 18x^2-\dfrac 14x\leqslant 0,\\ -\dfrac 14x^2+1\geqslant 0,\end{aligned}\]这样就有\[f(x)\leqslant 2\left(\dfrac 18x^2+\dfrac 14x\right)-2\left(\dfrac 18x^2-\dfrac 14x\right)+2\left(-\dfrac 14x^2+1\right)=-\dfrac 12x^2+x+2\leqslant \dfrac 52,\]等号当$(a,b,c)=\left(-\dfrac 12,1,2\right)$且$x=1$时取得.因此所求的最大值为$\dfrac 52$.

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