每日一题[834]避其锋芒

已知抛物线$C:y^2=4x$的焦点为$F$,直线$MN$过焦点$F$且与抛物线$C$交于$M,N$两点,$P$为抛物线$C$准线$l$上一点,且$PF\perp MN$.连结$PM$交$y$轴于$Q$点,过$Q$作$QD\perp MF$于点$D$,若$|MD|=2|FN|$,求$|MF|$.


cover正确答案是$2+\sqrt 3$.

分析与解 如图.
设$M(4m^2,4m)$,$N(4n^2,4n)$,则根据抛物线的平均性质,有\[4m^2\cdot 4n^2=1.\]根据题意,有\[\dfrac{|MD|}{|FN|}=\dfrac{|MQ|}{|MP|}\cdot \dfrac{|MF|}{|FN|}=\dfrac{4m^2}{4m^2+1}\cdot \dfrac{4m^2+1}{4n^2+1}=\dfrac{4m^2}{4n^2+1}=2,\]于是可得\[2m^2=4n^2+1,\]将$4n^2=\dfrac{1}{4m^2}$代入,可得\[2m^2=\dfrac{1}{4m^2}+1,\]即\[8m^4-4m^2-1=0,\]解得$m^2=\dfrac{1+\sqrt{3}}{4}$,因此\[|MF|=4m^2+1=2+\sqrt 3.\]

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