每日一题[922]四点共球

已知空间四边形$ABCD$的四个顶点都在球$O$的球面上,$E,F$分别是$AB,CD$的中点,且$EF\perp AB$,$EF\perp CD$.若$AB=EF=4$,$CD=8$,则球$O$的半径为_______.
正确答案是$\dfrac{\sqrt{65}}2$.

分析与解 如图,线段$AB$和$CD$分别是圆台两个底面的直径,$EF$是连接底面中心的线段. 根据题意,球$O$的半径$r$满足\[r^2=OE^2+\left(\dfrac 12AB\right)^2=OF^2+\left(\dfrac 12CD\right)^2,\]于是\[OE^2-OF^2=\left(\dfrac 12CD\right)^2-\left(\dfrac 12AB\right)^2=12,\]因此$O$在线段$EF$上,$OE+OF=4$,$OE-OF=3$,于是$OF=\dfrac 12$,进而所求半径\[r=\sqrt{OF^2+\left(\dfrac 12CD\right)^2}=\dfrac{\sqrt{65}}2.\]


练习 已知空间四边形$ABCD$的四个顶点都在球$O$的球面上,$AB=4$,$CD=8$,$AC=BC=BD=DA$,且平面$ACD$与平面$BCD$垂直,则球$O$的半径为______.

答案 $2\sqrt 5$.

分析 如图,设$M,N$分别为$CD,AB$的中点,由$AC=AD$,$BC=BD$可得$AM\perp CD$,$BM\perp CD$,进而由平面$ACD$与平面$BCD$垂直可得$AM,BM,CD$两两垂直,又$\triangle ACD$与$\triangle BCD$全等,于是$AM=BM$,因此$MN$是$AB$与$CD$的公垂线段,从而球心$O$在直线$MN$上,进而可解得球的半径.

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