每日一题[916]离散型随机变量的期望

若离散型随机变量$X,Y$满足$2\leqslant X\leqslant 3$,且$XY=1$,则$E(X)E(Y)$的取值范围为_______.


cover正确答案是$\left[1,\dfrac{25}{24}\right]$.

分析与解 不影响问题的本质,考虑随机变量$X$的取值为有限个的情形.设随机变量$X$的分布列为\[\begin{matrix}X&x_1&x_2&\cdots &x_n \\P(X)& p_1 &p_2 &\cdots &p_n\end{matrix}\]其中$p_1+p_2+\cdots+p_n=1$且$p_1,p_2,\cdots,p_n>0$.那么有\[\begin{split}E(X)E(Y)&=\left(p_1x_1+p_2x_2+\cdots p_nx_n\right)\left(p_1x_1^{-1}+p_2x_2^{-1}+\cdots+p_nx_n^{-1}\right)\\&\geqslant \left({x}_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_n^{p_n}\right)\left(x_1^{-p_1}x_2^{-p_2}\cdots x_n^{-p_n}\right)\\&=1,\end{split}\]等号当$x_1=x_2=\cdots=x_n$时取得,因此$E(X)E(Y)$的最小值为$1$.

考虑函数$f(x_i)=E(X)E(Y)$($i=1,2,\cdots,n$)的单调性,可得当$x_i\in\{2,3\}$时$E(X)E(Y)$取得最大值.这是由于$a,b,p>0$时,有\[\left(px+a\right)\left(\dfrac px+b\right)=pbx+\dfrac {pa}x+p^2+ab,\]而对勾函数$y=pbx+\dfrac {pa}x$在限制区间上的最大值必然在区间端点处取得.假设随机变量$X$中取值$2,3$对应的概率分别为$p,q$,其中$p+q=1$且$p,q>0$,那么\[\begin{split}E(X)E(Y)&=(2p+3q)\left(\dfrac p2+\dfrac q3\right)\\&=\dfrac{p^2+q^2+\dfrac{13}6pq}{p^2+q^2+2pq}\\&=1+\dfrac{\dfrac 16}{\dfrac pq+\dfrac qp+2}\\&\leqslant 1+\dfrac{\dfrac 16}{2+2}\\&=\dfrac{25}{24},\end{split}\]等号当$p=q$时取得,因此$E(X)E(Y)$的最大值为$\dfrac{25}{24}$.

综上所述,考虑到连续性,$E(X)E(Y)$的取值范围为$\left[1,\dfrac{25}{24}\right]$.

 此题即康托洛维奇不等式,设$p_i>0$,$i=1,2,\cdots,n$且$p_1+p_2+\cdots+p_n=1$,又$0<a_1\leqslant a_2\leqslant \cdots\leqslant a_n$,则\[\sum_{i=1}^n\left(p_ia_i\right)\cdot \sum_{i=1}^n\dfrac{p_i}{a_i}\leqslant \dfrac{(a_1+a_n)^2}{4a_1a_n}.\]

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