Math173

函数 $f(x)=-x^2+3x+a$，$g(x)=2^x-x^2$，若 $f(g(x))\geqslant 0$ 对于 $x\in[0,1]$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（　　）

A．$[-\mathrm{e},+\infty)$
B．$[-\ln 2,+\infty)$
C．$[-2,+\infty)$
D．$\left(-\dfrac12,0\right]$

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已知 $x_1,x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $ax^2+bx+c=0$ 的两根，且 $1<x_1<x_2<2$，$a,b,c\in \mathbb Z$．则当正整数 $a$ 取得最小值时，$b+c$ 的值为 （　　）
A．$-5$
B．$-4$
C．$-1$
D．$3$

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求使得 $\sqrt{k^2-2004k}$ 是正整数的正整数 $k$ 的个数．

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已知变量 $x$ 和 $\theta$ 都在 $\mathbb R$ 上变化，则 $\dfrac{x^2+2x\sin\theta+2}{x^2+2x\cos\theta+2}$ 的取值范围是_______．

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已知 $f(x)=\dfrac{3+2\cos x+\sin x}{(\cos x+2)^2}$，则函数 $f(x)$ 的值域是______．

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设函数 $f(x)=x^2-a^x$（$a>0$ 且 $a\ne 1$），$g(x)=f'(x)$．

（1）当 $a={\rm e}$ 时，求 $g(x)$ 的极大值点；

（2）讨论 $f(x)$ 的零点个数．

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已知 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$，且满足 $\angle BAC=60^\circ$，$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$，且 $x\geqslant 0$，则 $x+4y$ 的最大值是_______．

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设函数 $f(x)=(1-mx)\ln (1+x)$．

（1）当 $0<x<1$ 时，函数 $f(x)$ 的图象恒在 $y=x$ 上方，求实数 $m$ 的取值范围；

（2）求证：${\rm e}>\left(\dfrac{1001}{1000}\right)^{1000.4}$．

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已知 $O$ 是 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心，若 $A=\dfrac{\pi}3$，且 $\dfrac{\cos B}{\sin C}\overrightarrow {AB}+\dfrac{\cos C}{\sin B}\overrightarrow{AC}=2m\overrightarrow{AO}$，则 $m=$ ______．

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已知 $f(x)=x\ln x+(1-x)\ln (1-x)$．

（1）求 $f(x)$ 的最小值；

（2）若 $a+b+c=1$，$a,b,c\in (0,1)$，求证：$a\ln a+b\ln b+c\ln c\geqslant (a-2)\ln 2$．

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