每日一题[1130]向量三角联手

已知 $\triangle ABC$ 的外心为 $O$,且满足 $\angle BAC=60^\circ$,$\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$,且 $x\geqslant 0$,则 $x+4y$ 的最大值是_______.


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正确答案是$2$.

分析与解 根据三角形向量的外心表示,有\[\overrightarrow{AO}=\dfrac{1}{2\sin A}\left(\dfrac{\cos B}{\sin C}\overrightarrow{AB}+\dfrac{\cos C}{\sin B}\overrightarrow{AC}\right),\]因此\[\begin{cases} x=\dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot \dfrac{\cos B}{\sin C},\\ y=\dfrac{1}{\sqrt 3}\cdot \dfrac{\cos C}{\sin B}.\end{cases}\]根据题意,$B$ 的范围是 $\left(0,\dfrac{\pi}2\right] $,当 $B=\dfrac{\pi}2$ 时,有 $x+4y=2$.当 $0<B<\dfrac{\pi}2$ 时,有\[\begin{split} x+4y&=
\dfrac{\cos B}{\sqrt 3\sin\left(\dfrac{2\pi}3-B\right)}+\dfrac{4\cos \left(\dfrac{2\pi}3-B\right)}{\sqrt 3\sin B}\\&=\dfrac{1}{\dfrac 32+\dfrac{\sqrt 3}2\tan B}+\dfrac{-2+2\sqrt 3\tan B}{\sqrt 3\tan B}\\&=\dfrac{2}{3+\sqrt 3\tan B}-\dfrac{2}{\sqrt 3\tan B}+2\\&<2,\end{split}\]因此所求的最大值为 $2$.

另解 将 $\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ 的两边同时与 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 数乘得到\[\begin{cases} (1-2x)c=by,\\xc=(1-2y)b,\end{cases}\]从而有\[\dfrac{1-2x}{x}=\dfrac{y}{1-2y},\]解得 $y=\dfrac{1-2x}{2-3x}$,从而有\[x+4y=x+4\cdot\dfrac{1-2x}{2-3x}=\dfrac{10}3-\dfrac 13\left(t+\dfrac t4\right),\]其中 $t=2-3x\leqslant 2$.于是当 $t=2$,即 $x=0$ 时,$x+4y$ 取到最大值 $2$.

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