每日一题[1131]避其锋芒

设函数 $f(x)=x^2-a^x$($a>0$ 且 $a\ne 1$),$g(x)=f'(x)$.

(1)当 $a={\rm e}$ 时,求 $g(x)$ 的极大值点;

(2)讨论 $f(x)$ 的零点个数.


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分析与解 (1)函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=2x-\ln a\cdot a^x,\]于是函数 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=2-\ln^2a \cdot a^x.\]当 $a={\rm e}$ 时,有\[g'(x)=2-{\rm e}^x,\]于是\[\begin{array}{c|ccc}\hline x&(-\infty,\ln 2)&\ln 2&(\ln 2,+\infty)\\ \hline
f'(x)&+&0&-\\ \hline f(x)&\nearrow&{\max}&\searrow \\ \hline \end{array}\]
于是 $g(x)$ 的极大值点为 $x=\ln 2$.

(2)注意到\[f(-x)=x^2-\left(\dfrac 1a\right)^x,\]于是当 $0<a<1$ 时,可以转化为 $a>1$ 的情形研究.

先考虑 $a>1$.函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0]$ 上单调递减,且\[f(-1)=1-\dfrac 1a>0,f(0)=-1<0,\]于是函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,0]$ 上有 $1$ 个零点.

当 $x>0$ 时,方程\[x^2-a^x=0\]即\[\dfrac{\ln x}x=\dfrac{\ln a}2,\]考虑到函数 $\varphi(x)=\dfrac{\ln x}x$ 的导函数\[\left(\dfrac{\ln x}x\right)'=\dfrac{1-\ln x}{x^2},\]因此其单调性\[\begin{array} {c|ccc}\hline x&(0,{\rm e})&{\rm e}&({\rm e},+\infty)\\ \hline \varphi'(x)&+&0&-\\ \hline \varphi(x)&\nearrow&{\max}={\rm e}^{-1}&\searrow \\ \hline \end{array}\]
情形一 当 $\dfrac{\ln a}2>{\rm e}^{-1}$ 也即 $a>{\rm e}^{\frac{2}{\rm e}}$ 时,则函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上没有零点;
情形二 当 $\dfrac{\ln a}2={\rm e}^{-1}$ 也即 $a={\rm e}^{\frac{2}{\rm e}}$ 时,则函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有 $1$ 零点,为 $x={\rm e}$;
情形三 当 $0<\dfrac{\ln a}2<{\rm e}^{-1}$ 也即 $1<a<{\rm e}^{\frac{2}{\rm e}}$ 时,则由于\[\varphi\left({\rm e}^{-1}\right)=-{\rm e}<0,\]于是函数 $f(x)$ 在 $(0,{\rm e})$ 上有 $1$ 个零点;又由于当 $x>{\rm e}$ 时,有\[\dfrac{\ln x}x<\dfrac{2\left(\sqrt x-1\right)}x<\dfrac{2}{\sqrt x},\]于是取 $m=\max\left\{{\rm e},\dfrac{16}{\ln^2a}\right\}$ 时,有\[\varphi(m)<\dfrac{\ln a}2,\]于是函数 $f(x)$ 在 $({\rm e},+\infty)$ 上有 $1$ 个零点.因此函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有 $2$ 个零点.

综上所述,函数 $f(x)$ 的零点个数为\[\begin{cases} 1,&a\in\left(0,{\rm e}^{-\frac{2}{\rm e}}\right)\cup\left({\rm e}^{\frac{2}{\rm e}},+\infty\right),\\2,&a\in\left\{{\rm e}^{-\frac{2}{\rm e}},{\rm e}^{\frac{2}{\rm e}}\right\},\\3,&a\in\left({\rm e}^{-\frac{2}{\rm e}},1\right)\cup\left(1,{\rm e}^{\frac{2}{\rm e}}\right).\end{cases}\]

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