每日一题[1129]构造函数比大小

设函数 $f(x)=(1-mx)\ln (1+x)$.

(1)当 $0<x<1$ 时,函数 $f(x)$ 的图象恒在 $y=x$ 上方,求实数 $m$ 的取值范围;

(2)求证:${\rm e}>\left(\dfrac{1001}{1000}\right)^{1000.4}$.


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分析与解 (1)设 $g(x)=f(x)-x$,则函数 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=-m\ln(1+x)-\dfrac{(m+1)x}{x+1},\]注意到 $g(0)=g'(0)=0$,考虑 $g(x)$ 的二阶导函数\[g''(x)=-\dfrac{mx+2m+1}{(x+1)^2},\]讨论分界点为 $0,-\dfrac 12$.

情形一 $m>0$.此时\[g\left(\dfrac 1m\right)=-\dfrac 1m<0,\]不符合题意.

情形二 $m=0$.此时\[g(x)=\ln(1+x)-x<0,\]不符合题意.

情形三 $-\dfrac 12<m<0$.此时设 $p=\min\left\{1,-\dfrac{2m+1}m\right\}$,则在区间 $(0,p)$ 上,函数 $g''(x)<0$,于是 $g'(x)$ 单调递减,结合 $g'(0)=0$ 可得 $g(x)$ 单调递减,进而\[g(x)<g(0)=0,\]不符合题意.

情形四 $m\leqslant -\dfrac 12$.此时 $g''(x)>0$,进而 $g'(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增,结合 $g'(0)=0$ 可得在 $(0,1)$ 上 $g'(x)>0$,进而 $g(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增,因此\[g(x)>g(0)=0,\]符合题意.

综上所述,实数 $m$ 的取值范围为 $\left(-\infty,-\dfrac 12\right]$.

(2)欲证不等式即\[\ln\left(1+\dfrac{1}{1000}\right)<\dfrac{5}{5002},\]考虑证明当 $x\in (0,1)$ 时,有\[\ln (1+x)<\dfrac{5}{\dfrac 5x+2},\]也即当 $x\in (0,1)$ 时,有\[\left(1+\dfrac 25x\right)\ln (1+x)<x,\]根据第 $(1)$ 小题的结果,取 $m=-\dfrac 25$,当 $x\in\left(0,\dfrac 12\right)$ 时,有 $g(x)<0$,即得上述不等式成立,因此原命题得证.

 事实上,也可以不依赖于第 $(1)$ 小题,根据 $\ln x$ 的进阶放缩,有当 $x\in \left(0,\dfrac 12\right)$ 时,有\[\ln (1+x)<\dfrac 12\left(x+1-\dfrac{1}{x+1}\right)<\dfrac{5x}{5+2x},\]其中\[\dfrac 12\left(x+1-\dfrac{1}{x+1}\right)-\dfrac{5x}{5+2x}=\dfrac{x^2(2x-1)}{2(x+1)(5+2x)}.\]


最后给出一道相关的题作为思考题:

求证:$10000.4\ln\left(1+\dfrac{1}{10000}\right)<1< 1000.5\ln\left(1+\dfrac{1}{1000}\right)$.

证明 考虑证明
引理 当 $0<x<\dfrac 12$ 时,有\[\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{5}\right)\ln(1+x)<1<\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{2}\right)\ln(1+x).\]然后分别将 $x=\dfrac{1}{10000}$ 代入上述不等式左边,将 $x=\dfrac{1}{1000}$ 代入上述不等式右边即得题中不等式.
引理的证明 也即证明当 $0<x<\dfrac 12$ 时,有\[\dfrac{2x}{x+2}<\ln(1+x)<\dfrac{5x}{2x+5},\]左侧是我们熟知的不等式,而当 $0<x<\dfrac 12$ 时,有\[\ln(1+x)<\dfrac 12\left(1+x-\dfrac{1}{1+x}\right)=\dfrac{x^2+2x}{2x+2}<\dfrac{5x}{2x+5},\]因此原命题得证.

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