每日一题[1127]视变为常

已知 $f(x)=x\ln x+(1-x)\ln (1-x)$.

(1)求 $f(x)$ 的最小值;

(2)若 $a+b+c=1$,$a,b,c\in (0,1)$,求证:$a\ln a+b\ln b+c\ln c\geqslant (a-2)\ln 2$.


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分析与解(1)根据题意,有 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\ln x-\ln (1-x),\]于是\[\begin{array}{c|ccc}\hline x&\left(0,\dfrac 12\right)&\dfrac 12&\left(\dfrac 12,+\infty\right)\\ \hline
f'(x)&-&0&+\\ \hline f(x)&\searrow&\min &\nearrow \\ \hline \end{array}\]于是函数 $f(x)$ 的最小值为\[f\left(\dfrac 12\right)=-\ln 2.\](2)视 $a$ 为常数,问题转化为

新问题 已知 $b+c=1-a$,其中 $b,c \in(0,1-a)$,$a\in (0,1)$,求证:$b\ln b+c\ln c$ 的最小值不小于 $(a-2)\ln 2-a\ln a$.

由于\[\dfrac{b}{1-a}+\dfrac {c}{1-a}=1,\]根据第 $(1)$ 小题的结论,有\[\dfrac{b}{1-a}\ln\dfrac{b}{1-a}+\dfrac{c}{1-a}\ln\dfrac{c}{1-a}\geqslant -\ln 2,\]也即\[\begin{split} b\ln b+c\ln c&\geqslant -(1-a)\ln 2+(b+c)\ln(1-a)\\ &=-(1-a)\ln 2+(1-a)\ln(1-a)\\&=-(1-a)\ln 2-a\ln a+a\ln a+(1-a)\ln(1-a)\\&=-(1-a)\ln 2-a\ln a-\ln 2\\&=(a-2)\ln 2-a\ln a,\end{split}\]因此原不等式得证.

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