每日一题[1134]整除中的计数

求使得 $\sqrt{k^2-2004k}$ 是正整数的正整数 $k$ 的个数.


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正确答案是$4$.

分析与解 设 $m=\sqrt{k^2-2004k}\in\mathbb N^*$,则\[(k-1002-m)(k-1002+m)=1002^2=2^2\cdot 3^2\cdot 167^2,\]令 $x=k-1002+m$,$y=k-1002-m$,则\[(k,m)=\left(\dfrac{x+y}2+1002,\dfrac{x-y}2\right),\]于是奇偶相同且 $x>y$ 的一组 $(x,y)$ 与一组 $(k,m)$ 对应.显然因子 $2$ 必然分配给 $x,y$ 各一个.

情形一  $x$ 中包含两个 $167$.此时符合题意的有 $3$ 组解.

情形二  $x$ 中包含一个 $167$.此时符合题意的有 $1$ 组解.

综上所述,符合题意的 $k$ 有 $4$ 个.

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