每日一题[1128]外心的向量表达

已知 $O$ 是 $\triangle ABC$ 外接圆的圆心,若 $A=\dfrac{\pi}3$,且 $\dfrac{\cos B}{\sin C}\overrightarrow {AB}+\dfrac{\cos C}{\sin B}\overrightarrow{AC}=2m\overrightarrow{AO}$,则 $m=$ ______.


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正确答案是$\dfrac{\sqrt 3}2$.

分析与解 由于\[\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=\dfrac 12AB^2,\]于是有\[\dfrac{\cos B}{\sin C}\cdot AB^2+\dfrac{\cos C}{\sin B}\cdot \cos A\cdot AB\cdot AC=m\cdot AB^2,\]两边同除以 $AB^2$,应用正弦定理,可得\[\begin{split} m&=\dfrac{\cos B}{\sin C}+\dfrac{\cos C\cdot \cos A}{\sin C}\\&=\dfrac{-\cos (A+C)+\cos C\cdot \cos A}{\sin C}\\&=\sin A\\&=\dfrac{\sqrt 3}2.\end{split}\] 事实上,此题给出了三角形外心的向量表示.


下面给出一道练习:

已知 $O$ 是 $\triangle ABC$ 的外心,$AB=6$,$AC=10$,若 $\overrightarrow{AO}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$,且 $2x+10y=5$,则 $\triangle ABC$ 的面积为________.

正确答案是$24$ 或 $20\sqrt 2$.

 根据题意,有\[\begin{cases} \overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AB}=x\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB},\\\overrightarrow{AO}\cdot \overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}+y\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AC},\end{cases}\]于是\[\begin{cases} \dfrac 12AB^2=x\cdot AB^2+y\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A,\\ \dfrac 12AC^2= x\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A+y\cdot AC^2,\end{cases}\]即\[\begin{cases} 18=36x+60y\cdot\cos A,\\ 50=60x\cdot \cos A+100y,\end{cases}\]又 $2x+10y=5$,解得\[(x,y,\cos A)=\left(0,\dfrac 12,\dfrac 35\right),\left(\dfrac 14,\dfrac{9}{20},\dfrac 13\right).\]因此 $\triangle ABC$ 的面积为\[\dfrac 12\cdot AB\cdot AC\cdot \sqrt{1-\cos^2A}=24,20\sqrt 2.\]

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