已知 $O$ 为锐角 $\triangle A B C$ 的外心，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$，且 $\overrightarrow{C O} \cdot \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B O} \cdot \overrightarrow{C A}$，$a=1$，则 $\triangle A B C$ 面积的取值范围为（ ）
A．$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}, \dfrac{\sqrt{3}}{4}\right]$
B．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{6}, \dfrac{\sqrt{3}}{4}\right]$
C．$\left(\dfrac{\sqrt{3}}{6}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]$
D．$\left(\dfrac{\sqrt{2}}{4}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right]$
已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点，$T\left(-\frac{3}{2}, 1\right.$）在 $C$ 上，$F$ 是 $C$ 的焦点，$F T$ 垂直于 $y$ 轴．斜率为 $k$（$k>0$）的直线 $ l $ 经过点 $ P(0,4)$ 且与 $ C $ 交于 $ A,B$ 两点．
1、求 $C$ 的标准方程；
2、记直线 $F T$ 与 $l$ 的交点为 $Q$，若 $\overrightarrow{B Q}+ 2 \overrightarrow{A Q}=0$，求 $k$．
无穷数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且满足 $a_{n+1}=a_n+\dfrac{a_n^2}{n^2}$，$0<a_1<1$，以下命题正确的有（ ）
A．$2S_2<S_1+S_3$
B．$a_n\leqslant na_1$
C．$a_n>n-1$
D．若 $a_1=\dfrac 12$，则当 $n\geqslant 3$ 时，$a_n<\dfrac{3(n-1)}{n+2}$
设 $r=\dfrac{1+\sqrt 5}2$，计算 $7\arctan^2r+2\arctan^2r^3-\arctan^2r^5=$_____．
如图，已知椭圆 $C_1: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，点 $ A $ 为 $C_1$ 上的一个动点（非左、右顶点），连接 $A F_1$ 并延长交 $C_1$ 于点 $B$，且 $\triangle A B F_2$ 的周长为 $8$，$ \triangle A F_1 F_2$ 面积的最大值为 $2$．
1、求椭圆 $C_1$ 的标准方程；
2、若椭圆 $C_2$ 的长轴端点为 $F_1, F_2$，且 $C_2$ 与 $C_1$ 的离心率相等，$P$ 为 $A B$ 与 $C_2$ 异于 $F_1$ 的交点，直线 $P F_2$ 交 $C_1$ 于 $M, N$ 两点，证明：$|A B|+|M N|$ 为定值．
已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，左焦点为 $(-2\sqrt 5,0)$，离心率为 $\sqrt 5$．
1、求双曲线 $C$ 的方程；
2、记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_1,A_2$，过点 $(-4,0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于 $M,N$ 两点，$M$ 在第二象限，直线 $MA_1$ 与 $NA_2$ 交于点 $P$，证明：点 $P$ 在定直线上．
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），以椭圆 $E$ 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 $2$ 的正方形．过点 $(0,t)$（$t>\sqrt 2$）且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点 $ A,B$，过点 $A$ 和 $C(0,1)$ 的直线 $ AC $ 与椭圆 $E$ 的另一个交点为 $ D$．
1、求椭圆 $E$ 的方程及离心率；
2、若直线 $BD$ 的斜率为 $0$，求 $t$ 的值．
已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^{\ast}$，设函数 \[ f_n(x)=-1+\binom n1 x+\binom n2 \frac{x^2}{2^2}+\binom n3 \frac{x^3}{3^2}+\cdots+\binom nn \frac{x^n}{n^2},x\in\mathbb R.\]
1、证明：对每个 $n \in \mathbb{N}^{\ast}$ 且 $n \geqslant 2$．存在唯一的 $x_n \in\left[0, \dfrac{1}{2}\right]$，满足 $f_n\left(x_n\right)=0$；
2、若 $\forall x>-1,f_2(x)+1 \geqslant a \ln (x+1)$，求 $a$；
3、证明：$f_n'(-1)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$，其中 $f_n^{\prime}(x)$ 表示 $f_n(x)$ 的导数．
在凸四边形 $A B C D$ 中，$A B=B C =C D=2 A D=2$，则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{D C}$ 的最大值为_____．
