每日一题[1445]分拆与裂项

已知数列 $\{a_n\}$ 中,$a_1=\dfrac 52$,$2a_{n+1}=a_n^2+1$($n\in\mathbb N^{\ast}$),若 $\dfrac{2a_1-1}{a_1+1}+\dfrac{2a_2-1}{a_2+1}+\cdots+\dfrac{2a_{2018}-1}{a_{2018}+1}>m$ 成立,则整数 $m$ 的最大值为_______.

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每日一题[1444]元素拆解

$\dfrac {1-2{\log_6}5 \cdot {\log_{10}}3 \cdot {\log_{15}}2}{ {\log_6}5 \cdot {\log_{10}}3+ {\log_{10}}3 \cdot {\log_{15}}2+ {\log_{15}}2 \cdot {\log_6}5}$ 的值为_______.

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每日一题[1443]连锁反应

解不定方程 $\underbrace{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\cdots+\sqrt x}}}}_{2019}=y$,其中 $x,y\in\mathbb N^{\ast}$.

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每日一题[1442]三倍角公式

解方程:$8x^3-6x-1=0$.

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每日一题[1441]完全平方数

求证:各项均为正整数且有一项为完全平方数的无穷等差数列中必然有无穷多项为完全平方数.

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每日一题[1440]左右逢源

已知函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 满足对任意的 $x\in[-1,1]$,有 $|f(x)|\leqslant 1$,求证:对任意 $x\in[-1,1]$,有 $|cx^2+bx+a|\leqslant 2$.

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每日一题[1439]完全平方数

是否存在正整数 $x,y$,使得 $x^2+y$ 和 $y^2+x$ 都是完全平方数?

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每日一题[1438]复数的三角形式

已知复数 $z_1=\sin\theta+2{\rm i}$,$z_2=1+{\rm i}\cos\theta$,则 $\dfrac{14-\left|z_1+{\rm i}z_2\right|^2}{\left|z_1-{\rm i}z_2\right|}$ 的最小值为( )

A.$2$

B.$2\sqrt 2$

C.$2\sqrt 3$

D.前三个答案都不对

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每日一题[1437]统一起点

在 $\triangle{ABC}$ 中,已知 $6\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{CA}$,则 $\angle A=$ ( )

A.$30^{\circ}$

B.$45^{\circ}$

C.$60^{\circ}$

D.$135^{\circ}$

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每日一题[1436]函数的零点

设关于 $x$ 的方程 $x^2-2ax|x-a|-2ax+1=0$ 有 $3$ 个互不相同的实根,则实数 $a$ 的取值范围是( )

A.$[1,+\infty)$

B.$(-\infty,-1]$

C.$[-1,0)\cup (0,1]$

D.前三个答案都不对

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