每日一题[1383]整体代换

已知 $x\in\mathbb R$,解方程 $\sqrt{2x^2+x+5}+\sqrt{x^2+x+1}=\sqrt{x^2-3x+13}$.

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每日一题[1382]对称的角

已知 $n$ 是奇数,且 $a_k=k=a_{n-k+1}$,$1\leqslant k\leqslant \dfrac{n+1}2$,则\[\dfrac{a_1\sin\alpha+a_2\sin 2\alpha+\cdots+a_n\sin n\alpha}{a_1\cos\alpha+a_2\cos 2\alpha+\cdots+a_n\cos n\alpha}\]的值为_______.

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每日一题[1381]分解因式

在有理数范围内分解因式:$x^{15}-1=$ _______.

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每日一题[1380]纯粹与完备

过曲线 $F:x^2+2y^2-2=0$ 和曲线 $G:2x^2-y^2-2=0$ 的交点并且被 $y$ 轴截得弦长为 $\sqrt{13}$ 的圆锥曲线的方程为_______.

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每日一题[1379]积化和差

设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $\dfrac{\pi}9$,前 $8$ 项和为 $6\pi$,记 $\tan\dfrac{\pi}9=k$,则数列 $\{\tan a_n\cdot\tan a_{n+1}\}$ 的前 $7$ 项和为(       )

A.$\dfrac{7k^2-3}{k^2-1}$

B.$\dfrac{3-7k^2}{k^2-1}$

C.$\dfrac{11-7k^2}{k^2-1}$

D.$\dfrac{7k^2-11}{k^2-1}$

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每日一题[1378]虚不动点

已知数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_0=1$,$x_n+\dfrac{1}{x_{n+1}}=2\cos\dfrac{133\pi}{355}$,则使得 $x_n=1$ 的最小正整数为_______.

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每日一题[1377]代数与几何

在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 为 $AC$ 的中点,$BH\perp AC$ 于 $H$,若 $\angle ABH=\angle DBC$,求证:$\angle ABC$ 为直角.

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每日一题[1376]分析通项

已知 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$,求证:${\rm e}^{n-1}\cdot n!<n^{n+\frac 12}$.

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每日一题[1375]最小角和最大角

已知 $P$ 是直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面 $A_1B_1C_1$ 上一点,$Q$ 为直线 $BC$ 上的动点,若直线 $PA$ 与 $AQ$ 所角的最小值和直线 $PQ$ 与平面 $ABC$ 所成角的最大值相等,则满足条件的点 $P$ 的轨迹是(       )

A.直线的一部分

B.圆的一部分

C.抛物线的一部分

D.以上答案都不对

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每日一题[1374]顶点弦代换

中心为原点 $O$ 的椭圆的焦点在 $x$ 轴上,$A$ 为该椭圆右顶点,$P$ 为椭圆上一点,若 $\angle OPA=90^\circ$,则该椭圆的离心率的取值范围是_______.

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