2026年3月江苏南京盐城市一模数学试卷 #14
设正整数 $n=a_0\cdot 2^0+a_1\cdot 2^1+\cdots+a_{k-1}\cdot 2^{k-1}+a_k\cdot 2^k$，其中 $a_i\in\{0,1\}$，$i=0,1,2,\cdots,k$．记 $\omega(n)=a_0+a_1+\cdots+a_k$．从集合 $\left\{x\in \mathbb N^{\ast}\mid x\leqslant 2000\right\}$ 中随机抽取一个数 $n$，则 $\omega(n)\leqslant 3$ 的概率为_____．
2026年3月江苏南京盐城市一模数学试卷 #8
已知函数 $f(x)=\left(x^2-k x+k-2\right)\mathrm e^x+(k-2)\mathrm e^2$，若存在 $x_0<2$，对于任意 $x\in\left(x_0,2\right)$ 都有 $f(x)<0$，则实数 $k$ 的取值范围是（ ）
A．$(-\infty,3)$
B．$(-3,0)$
C．$(0,3)$
D．$(-3,+\infty)$
2026年3月江苏南京盐城市一模数学试卷 #6
若等差数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $\dfrac{S_7 S_3}{S_4^2}=\dfrac 7 4$，则 $\dfrac{S_3}{S_4}=$（ ）
A．$-2$
B．$-\dfrac 1 2$
C．$\dfrac 1 2$
D．$2$
2026年3月广东广州市一模数学试卷 #18
已知函数 $f(x)=(1-2 x)\ln x+a x-1$．
1、若 $a=1$，求 $f(x)$ 的单调区间；
2、若 $f(x)$ 有且仅有 $1$ 个零点，求 $a$ 的值；
3、若 $f(x)\leqslant a+b$ 对任意 $x>0$ 恒成立，证明：$a-b<4$．
2026年3月广东广州市一模数学试卷 #14
某公园里有一块边长分别为 $30$ 米、$40$ 米、$50$ 米的三角形草坪（记为 $\triangle ABC$），点 $D,E$ 在 $\triangle ABC$ 的边上，线段 $DE$ 把草坪分成面积相等的两部分．如果沿 $DE$ 铺设灌溉水管，则水管的最短长度为_____米．
2026年3月广东广州市一模数学试卷 #11
已知曲线 $C$ 的方程为 $F(x,y)=0$，集合 $T=\{(x,y)\mid F(x,y)=0\}$，若对任意的 $\left(x_1,y_1\right)\in T$，都存在 $\left(x_2,y_2\right)\in T$，使得 $x_1\left(y_2-2\right)=x_2 y_1$ 成立，则称曲线 $C$ 为 $\alpha$ 曲线．下列方程所表示的曲线为 $\alpha$ 曲线的是（ ）
A．$x^2+y^2=5$
B．$x-y-1=0$
C．$y=\ln x$
D．$y=\mathrm e^{-x}-2$
2026年3月广东广州市一模数学试卷 #8
在正三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，$AB=2$，$AA_1=1$，点 $D$ 是平面 $ABC$ 上的动点，则 $A_1 D+\dfrac{\sqrt 2}2 CD$ 的最小值是（ ）
A．$\dfrac{5\sqrt 2}4$
B．$\dfrac{3\sqrt 2}2$
C．$\dfrac{5\sqrt 3}4$
D．$\dfrac{3\sqrt 3}2$
2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #19
已知 $a$ 为常数，函数 $f(x)=x\left(\mathrm e^{a x}+a\right)+\ln x-1$．
1、讨论 $f(x)$ 的单调性：
2、若 $f(x)$ 有两个零点 $x_1,x_2$（$x_1<x_2$）．
① 求 $a$ 的取值范围：
② 若 $x_1\cdot x_2^m>\mathrm e^{m+1}$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．
2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #18
已知点 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$，动点 $T$ 满足 $\left|TF_1\right|+\left|TF_2\right|=4$，动点 $T$ 的轨迹记为 $C$．
1、求 $C$ 的方程：
2、直线 $l: x=4$ 与 $x$ 轴交于点 $M$，$B$ 为 $l$ 上的动点，过 $B$ 作 $C$ 的两条切线，分别交 $y$ 轴于点 $P,Q$．
① 证明：直线 $BP,BF_2,BQ$ 的斜率成等差数列：
② 圆 $N$ 经过 $B,P,Q$ 三点，是否存在点 $B$，使得 $\angle PNQ=90^{\circ}$？若存在，求 $|BM|$；若不存在，请说明理由．
2026年3月湖南雅礼中学高三开学数学考试 #14
锐角 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对应的边分别为 $a,b,c$，满足 $a^2=b(b+c)$，$a+b=3$，则 $\triangle ABC$ 的周长的取值范围为_____．
