每日一题[1509]阿波罗尼斯圆

已知圆 $O:x^2+y^2=4$ 与曲线 $C:y=3|x-t|$,$A(m,n)$ 和 $B(s,p)$($m,n,s,p\in\mathbb N^{\ast}$)为曲线 $C$ 上的两点,使得圆 $O$ 上任意一点到点 $A$ 的距离与到点 $B$ 的距离之比为定值 $k$($k>1$),求 $t$ 的值.

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每日一题[1508]分组求和

设 $f(n)$ 为最接近 $\sqrt[4]{n}$ 的整数,则 $\displaystyle\sum_{k=1}^{2018}\dfrac{1}{f(k)}=$ _______.

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每日一题[1507]先发优势

甲、乙两人轮流掷一枚硬币至正面朝上或者朝下,规定谁先掷出正面朝上为赢;前一场的输者,则下一场先掷.若第一场甲先赢,则甲赢得第 $n$ 场的概率为_______.

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每日一题[1506]分解转化

在 $\triangle ABC$ 中,$\angle BAC=60^\circ$,$\angle BAC$ 的平分线 $AD$ 交 $BC$ 于 $D$,且有 $\overrightarrow{AD}=\dfrac 14\overrightarrow{AC}+t\overrightarrow{AB}$,若 $AB=8$,则 $AD=$ _______.

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每日一题[1505]此起彼伏

已知 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数,函数 $f(x)=[2\sin x\cos x]+[\sin x+\cos x]$ 的值域为_______.

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每日一题[1504]参数转化

已知 $a$ 为实数,函数 $f(x)=x\ln x-\dfrac 12ax^2-x+a$ 在其定义域内恰有两个不同的极值点 $x_1,x_2$,且 $x_1<x_2$.若 $\lambda>0$,且 $\lambda\ln x_2-\lambda>1-\ln x_1$ 恒成立,求 $\lambda$ 的取值范围.

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每日一题[1503]大小擒拿

已知 $x>0$,求证:${\rm e}^x>x^2+x\ln x+1$.

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每日一题[1502]先猜后证

设 $x,y,z\geqslant0$,且至多有一个为 $0$,求\[f(x,y,z)= \sqrt{\dfrac {x^2+256yz}{y^2+z^2}} + \sqrt{\dfrac {y^2+256zx}{z^2+x^2}} +\sqrt{\dfrac {z^2+256xy}{x^2+y^2}} \]的最小值.

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每日一题[1501]分而治之

已知抛物线 $y=ax^2$ 过点 $P(-1,1)$,过点 $Q\left(-\dfrac 12,0\right)$ 作斜率大于 $0$ 的直线 $l$ 交抛物线于 $M,N$ 两点(点 $M$ 在 $Q,N$ 之间),过点 $M$ 作 $x$ 轴的平行线,交 $OP$ 于 $A$,交 $ON$ 于 $B$,$\triangle PMA$ 与 $\triangle OAB$ 的面积分别记为 $ S_1 , S_2 $,比较 $ S_1 $ 与 $ 3S_2 $ 的大小,说明理由.

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每日一题[1500]直线的参数方程

已知直线 $l:y=kx$ 与圆 $C:x^2+(y-4)^2=4$ 相交于 $M,N$ 两点.

1、求 $k$ 的取值范围.

2、若点 $Q$ 在线段 $MN$ 上,且满足 $\dfrac{2}{|OQ|^2}=\dfrac{1}{|OM|^2}+\dfrac{1}{|ON|^2}$,求点 $Q$ 的轨迹方程.

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