每日一题[1259]祖暅原理

由曲线 $x^2=4y$,$x^2=-4y$,$x=4$,$x=-4$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为 $V_1$,满足 $x^2+y^2\leqslant 16$,$x^2+(y-2)^2\geqslant 4$,$x^2+(y+2)^2\geqslant 4$ 的点 $(x,y)$ 组成的图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积为 $V_2$,则 $\dfrac{V_1}{V_2}$ 的值为(       )

A.$\dfrac 12$

B.$\dfrac 23$

C.$1$

D.$2$

继续阅读

发表在 每日一题 | 留下评论

每日一题[1258]存在与恒成立

已知 $m$ 是实数,函数 $f(x)={\rm e}^{x+1}-ma$,$g(x)=a{\rm e}^x-x$.若存在实数 $a$,使得 $f(x)\leqslant g(x)$ 对任意 $x\in\mathbb R$ 恒成立,则 $m$ 的取值范围是(       )

A.$\left[-\dfrac{1}{2{\rm e}},+\infty\right)$

B.$\left[-\dfrac{1}{2{\rm e}},0\right)$

C.$\left[-\dfrac{1}{\rm e},+\infty\right)$

D.$\left[-\dfrac{1}{\rm e},0\right)$

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1257]上下界估计

已知 $a,b$ 均为正数,若不等式 $x^2+2xy+3y^2\geqslant ax^2+by^2$ 对一切 $x,y\in\mathbb R$ 恒成立,则 $a+b$ 的取值范围是(       )

A.$(0,2)$

B.$(1,2)$

C.$\left(\sqrt 2,2\right)$

D.$\left(\sqrt 3,2\right)$

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日题意[1256]割补

已知函数 $f(x)=\arcsin(\sin x)$,则函数 $g(x)=x\cdot |f(x)|$($x\in [0,10\pi]$)与 $x$ 轴围成的图形的面积是(       )

A.$\dfrac{665\pi^3}4$

B.$\dfrac{665\pi^3}2$

C.$\dfrac{25\pi^3}2$

D.$25\pi^3$

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1255]二阶不动点

已知函数 $f(x)=a\ln x-\dfrac{2a^2}{x}$($a>0$),若方程 $f(f(x))=x$ 恰有两个实数解,则实数 $a$ 的可能取值是(       )

A.$3$

B.$5$

C.$9$

D.$11$

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1254]斯特瓦尔特定理

在 $\triangle ABC$ 中,内角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$,$A=\dfrac{\pi}3$,已知 $D$ 是 $BC$ 边上一点,且 $CD=2DB$,若 $AD=\dfrac{\sqrt{21}}3b$,则 $\dfrac{\sin B}{\sin C}=$ _______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1253]进阶放缩

已知函数 $f(x)={\rm e}^x$,对任意的实数 $x_1,x_2$($x_1\ne x_2$),均有 $\dfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}<|k|\cdot (f(x_1)+f(x_2))$ 成立,则实数 $ k$ 的取值范围是_______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1252]阿波罗尼斯圆

如图,在平面四边形 $ABCD$ 中,$AB=4$,$AD=2$,$\angle DAB=60^\circ$,$AC=3BC$,则边 $CD$ 长的最小值为_______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1251]绝对值函数

已知 $n$ 是正整数,$x\in\mathbb R$,求证:$\displaystyle\sum_{i=1}^n|ix-1|\geqslant\sqrt{2n^2+2n}-n-1$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1250]扩充概念

如果自然数 $a$ 的各位数字之和为 $7$,那么称 $a$ 为吉祥数,将所有吉祥数从小大到大排成一列 $a_1,a_2,a_3,\cdots$,若 $a_n=2005$,则 $a_{5n}=$ _______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论