每日一题[1173]级数不等式

已知数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=\dfrac 23$,$a_2=\dfrac89$.当 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^\ast$ 时,有 $3a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}$.

1、证明:$\{a_{n+1}-a_{n}\}$ 为等比数列;

2、求数列 $\{a_n\}$ 的通项;

3、若对任意 $n\in \mathbb N^\ast$ 有 $\lambda a_1a_2\dots a_n\geqslant 1$ 均成立,其中 $\lambda\in\mathbb N^\ast$,求 $\lambda$ 的最小值.

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每日一题[1172]分层递进

已知函数 $f(x)=\begin{cases} x(x-t)^2, &x\leqslant t,\\ \dfrac x4, &x>t ,\end{cases}$ 其中 $t>0$,若函数 $g(x)=f\left(f(x)-1\right)$ 有 $6$ 个零点,则实数 $t$ 的取值范围是_______.

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每日一题[1171]统一变量

已知 $a+b+c=1,a,b,c\in(0,1)$,求证:$a\ln a+b\ln b+c\ln c\geqslant(a-2)\ln2$.

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每日一题[1170]构造图形

已知 $\alpha,\beta,\gamma\in [0,2\pi)$ 且两两不相等,则关于 $x,y$ 的方程组\[|x\cos\alpha+y\sin\alpha+1|=|x\cos\beta+y\sin\beta+1|=|x\cos\gamma+y\sin\gamma+1|\]的解的组数可能为(       )

A.$0$

B.$1$

C.$2$

D.$4$

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每日一题[1169]递推

已知函数 $f(x)=\dfrac{{\rm e}^{2x-2}}{x}$($x\ne 0$),记 $f_n(x)=f_{n-1}'(x)$($n\in \mathbb N^{\ast}$),$f_0(x)=f(x)$.

(1)求 $f_2(1)+f_3(1)$ 的值;

(2)求证:$nf_{n-1}(1)+f_n(1)=2^n$.

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每日一题[1168]迭代函数

已知 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb R$ 上的函数,则(        )

A.若 $f(f(x))>x$,则 $f(f(x))>f(x)$

B.若 $f(f(x))>f(x)$,则 $f(x)>x$

C.若 $f(f(x))>f(x)$,则 $f(f(f(x)))>f(x)$

D.若 $f(f(f(x)))>f(x)$,则 $f(f(x))>f(x)$

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每日一题[1167]交错级数

设函数 $f_n(x)=x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\cdots+\dfrac{(-1)^{n+1}\cdot x^n}{n}-\ln (1+x),n\in\mathbb N^{\ast}$.

(1)判断 $f_n(x)$ 在 $(0,1)$ 内的单调性;

(2)求最大的整数 $\alpha$,使得 $|f_n(x)|<\dfrac{1}{n^{\alpha}}$ 对所有 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 及 $x\in (0,1)$ 都成立.

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每日一题[1166]焦半径公式

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$,过 $F_1$ 作圆 $x^2+y^2=a^2$ 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 $B,C$,且 $|BC|=|CF_2|$,则双曲线的离心率为_______.

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每日一题[1165]两边夹

已知定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足:$\forall x,y\in \mathbb R,f\left(x^2+2y\right)+2y\geqslant f\left(x^2+3y\right)$,且 $f(100)=100$,则 $f(200)=$_______.

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每日一题[1164]半角定理

在 $\triangle ABC$ 中,$AC=5$,$\dfrac {1}{\tan \dfrac A2}+\dfrac {1}{\tan \dfrac C2}-\dfrac {5}{\tan \dfrac B2}=0$,则 $BC+AB=$ _______.

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