已知椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，点 $P, A, B$ 为椭圆 $C$ 上的三点，且满足 $\overrightarrow{P F_1}=m_1 \overrightarrow{F_1 A}$，$\overrightarrow{P F_2}=m_2 \overrightarrow{F_2 B}$，直线 $A F_2$ 与直线 $B F_1$ 交于点 $Q$，记直线 $A B$ 的斜率为 $k_1$，直线 $P Q$ 的斜率为 $k_2$．
1、若点 $P$ 在 $y$ 轴上，则 $\triangle P F_1 F_2$ 是边长为 $2$ 的等边三角形，求椭圆方程；
2、若 $m_1+m_2=\dfrac{5}{2}$，求椭圆 $C$ 的离心率；
3、求证：$\left(m_1+m_2\right)^2 k_1 k_2$ 为定值．
如图，已知双曲线 $E: x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$ 的左、右顶点分别为 $C,D$，右焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交 $E$ 于 $A,B$ 两点，直线 $A D,B C$ 交于点 $M$，设点 $M$ 轨迹为 $l$．
1、求 $l$ 的方程； 直线 $A B$ 交 $l$ 于点 $N$，过点 $F$ 作 $A C$ 的平行线 $l^{\prime}$ 交直线 $N C$ 于点 $P$，证明：$\triangle P C F$ 为等腰三角形；
2、在第 $(2)$ 小题的基础上，设直线 $B C$ 与直线 $l^{\prime}$ 交于点 $Q$，设 $\triangle P C F,\triangle A C F$ 的面积分别为 $S_1, S_2$．
① 证明：$\angle Q C F=\angle Q C P$；
② 求 $\frac{1}{S_1^2}+\frac{1}{S_2^2}$ 的最小值．
一份由 $n$ 道判断题（$n\in\mathbb N^{\ast}$）构成的试卷，用 $(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 表示作答，其中 $x_i\in \{-1,1\}$（$i=1,2,\cdots,n$），$1$ 表示 $\checkmark$，$-1$ 表示 $\times$，若作答 $\boldsymbol x=(x_1,x_2,\cdot,x_n),\boldsymbol y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)$，定义\[\boldsymbol x\cdot \boldsymbol y =x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n,\]并用 $\boldsymbol x\cdot \boldsymbol y$ 来刻画作答的一致性，当 $\boldsymbol x\cdot \boldsymbol y=0$ 时，认为这两个作答无关．
1、当 $n=4$ 时，试给出 $4$ 个两两无关的作答；
2、当 $n=6$ 时，求证：不存在 $3$ 个两两无关的作答；
3、当 $n=96$ 时，若 $8$ 个作答两两无关，求证：至多有 $12$ 道题，这 $8$ 个作答给出的判断一致．
在平面上，对正 $n$（$n\geqslant 3$ 且 $n\in\mathbb N$）边形 $A_1A_2\cdots A_n$，若存在某条直线 $l$，满足\[ \{ d(A_k,l)\mid k=1,2,\cdots,n\}=\{0,1,2,\cdots,n-1\},\]则称该正 $n$ 边形是距离遍历正 $n$ 边形，其所有可能的边长组成的集合记为 $P_n$．
1、求 $P_3,P_4$；
2、求证：当 $n=5,6$ 时，不存在距离遍历正 $n$ 边形；并猜想当 $n>6$ 时，是否存在距离遍历正 $n$ 边形？（不需要说明理由）
3、在空间上，是否存在正方体的 $8$ 个顶点到某个平面的距离构成集合 $\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$，如果存在，求所有可能的正方体棱长；如果不存在，请说明理由．
已知函数 $f(x)=(2a+b)x^2+(5a+2b+1)x+a+1$ 在区间 $\left[\frac14,\frac 12\right]$ 上有零点，则 $3a^2+2ab+b^2$ 的最小值是_____．
已知曲线 $E:m^2x^2+n^2y^2=1$（$m,n>0$）与曲线 $\Gamma:\frac{4}{x^2}+\frac1{y^2}=1$ 恰有 $4$ 个公共点，求证：直线 $mx+ny=1$ 过定点．
已知正六边形 $ABCDEF$，沿 $AC,AD,AE$ 折叠，使 $B,F$ 重合形成多面体 $ABCDE$，则 $\frac{|AB|\cdot |CE|\cdot |DF|}{[BCDE]}$（$[BCDE]$ 表示四面体 $BCDE$ 的体积）能取得的最小正整数值为_____．
某气象观测网在沿海某干线上部署了 $n$（$n\geqslant 3$，$n\in\mathbb Z$）个自动气象站，按照自南向北依次编号为 $1,2,\cdots,n$．为测试数据回传系统，控制中心下发了两次数据抽取指令．每次指令均从这 $n$ 个气象站中随机选中一个作为目标（每次指令的目标相互独立）．记第一次指令选中的气象站的编号为 $X$，第二次指令选中的气象站编号为 $Y$．
1、若两次指令选中同一个气象站，则会引发数据重载；若第一次指令选中的气象站位于第二次指令选中气象站的南侧，则称为顺向传输．请分别计算触发数据重载与顺向传输的概率；
2、为评估两次指令在整条观测线上的空间分布情况；将 $X$ 与 $Y$ 中的较大值记为 $U$（即相对偏北的站点编号），将 $X$ 与 $Y$ 中的较小值记为 $V$（即相对偏南的站点编号）．
① 记两次指令的选中编号之和为 $S$，即 $S=U+V$，求 $E(S)$；
② 定义两次指令的空间跨度 $D=U-V$，证明：$E(D)<\dfrac n 3$．
在平面直角坐标系 $x Oy$ 中，$A(-2,0),B(2,0)$ 是两定点，动点 $T$ 与 $A, B$ 连线的斜率之积为 $-\dfrac 3 4$．
1、求动点 $T$ 的轨迹方程；
2、过点 $F(1,0)$ 的直线 $l$ 与 $T$ 的轨迹相交于点 $P,Q$，直线 $AP,AQ$ 与直线 $x=4$ 分别交于点 $M,N$．
① 证明：$MF\perp NF$；
② 记 $\triangle PFM,\triangle QFN,\triangle MFN$ 的面积分别为 $S_1,S_2,S_3$，且 $S_3^2=20 S_1 S_2$，求直线 $l$ 的方程．
已知曲线 $C:(|x y|-1)\left(\left|x^2-y^2\right|-2\right)=0$，则（ ）
A．曲线 $C$ 上任一点到原点的距离的最小值为 $\sqrt 2$
B．曲线 $C$ 恰有八条对称轴
C．过点 $(0,1)$ 的任意一条直线与曲线 $C$ 的公共点个数均为偶数
D．曲线 $C$ 所围成的封闭图形的面积 $S$ 满足 $2\pi<S<8$
