每日一题[849]寻找“定值”

已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>0,b>0$)的左、右焦点分别为$F_1,F_2$,过$F_1$且垂直于$x$轴的直线与该双曲线的左支交于$A,B$两点,$AF_2,BF_2$分别交$y$轴于$P,Q$两点,若$\triangle PQF_2$的周长为$12$,求$ab$取得最大值时双曲线的离心率$e$.

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每日一题[848]正弦型函数的图象

已知函数$f(x)=\sin(\omega x+\varphi)$,其中$\omega >0$,$|\varphi|<\dfrac{\pi}2$.$x=-\dfrac{\pi}4$是函数$f(x)$的一个零点,$x=\dfrac{\pi}4$是函数$f(x)$的一条对称轴,且$f(x)$在$\left(\dfrac{\pi}{18},\dfrac{5\pi}{36}\right)$上单调,求$\omega$的所有可能的值.

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每日一题[847]逃不开的轨迹

若实数$a,b,c$成等差数列,点$P(-1,0)$在动直线$ax+by+c=0$上的投影为$M$,点$N(3,3)$,求线段$MN$长度的取值范围.

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每日一题[846]兵来将挡

已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$),$A$为椭圆$E$的右顶点,$M,N$是椭圆$E$上不同于$A$的不同两点,且直线$AM$和$AN$的斜率之积为$\lambda $.

(1) 求证:直线$MN$过定点$R$;

(2) 若$\lambda =-\dfrac{b^2}{a^2}$,$P$为椭圆$E$上不同于$M,N$的一点,且$|PM|=|PN|$,求$\triangle MNP$的面积的最小值.

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$k$次方求和递推

已知$S(n,k)=\displaystyle \sum_{i=1}^n{i^k}$,其中$k,n\in\mathbb N^*$.

(1)求$S(n,1)$,$S(n,2)$,$S(n,3)$;

(2)给出$S(n,k)$关于$k$的一个递推公式.

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每日一题[845]级数不等式

设数列$\{a_n\}$满足$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$($n\in\mathbb N^*$),$S_n$为数列$\{a_n\}$的前$n$项和.证明:

(1) 当$a_1\in [0,1]$时,$a_n\in [0,1]$;
(2) 当$a_1>1$时,$a_n>(a_1-1)a_1^{n-1}$;
(3) 当$a_1=\dfrac 12$时,$n-\sqrt{\dfrac{2n}3}\leqslant S_n\leqslant n-1+\dfrac 1{2^n}$.

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每日一题[844]抓住分界点

若对任意锐角$x$,均有$\sin x+\tan x-2x>mx^2$,求实数$m$的取值范围.

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每日一题[843]瓮中捉鳖

已知$x_1\ln x_1=x_2\ln x_2$,且$x_1<x_2$,若整数$k=\dfrac 52\left(x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}\right)$,求$k$的值.

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每日一题[842]合理选参

已知边长为$1$的正三角形的中心为$O$,过$O$的直线与边$AB,AC$分别交于点$M,N$,求$\dfrac{1}{OM^2}+\dfrac{1}{ON^2}$的取值范围.

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每日一题[841]数形结合

设函数$f(x)=-x^2+bx+|x-a|$,$a,b\in\mathbb R$,若对任意的实数$a$,关于$x$的方程$f(x)=a+1$至多有两个不同的解,求实数$b$的取值范围.

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