每日一题[3439]极化恒等式

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的左、右焦点分别为 $F_1(-c,0)$,$F_2(c,0)$,点 $A,B$ 在 $C$ 上,且满足 $\overrightarrow{F_1 A}=2\overrightarrow{F_2 B}$,$\overrightarrow{F_1 B}\cdot\overrightarrow{AB}=4 c^2-\dfrac{a^2}{16}$,则 $C$ 的离心率为(       )

A.$\dfrac{2\sqrt 2}3$

B.$\dfrac{\sqrt 6}3$

C.$\dfrac 2 3$

D.$\dfrac{\sqrt 3}3$

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每日一题[3438]伪高次不等式

已知 $0<a<1$ 且 $a\neq\dfrac 1 2$,若函数 $f(x)=2\log_a x-\log_{2 a}x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减,则实数 $a$ 的取值范围为(       )

A.$\left(\dfrac 1 4,\dfrac 1 2\right)$

B.$\left(0,\dfrac 1 4\right)$

C.$\left(\dfrac 1 4,\dfrac 1 2\right)\cup\left(\dfrac 1 2,1\right)$

D.$\left(0,\dfrac 1 4\right)\cup\left(\dfrac 1 2,1\right)$

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每日一题[3437]递进求和

如图所示数阵,第 $m(m\geqslant 1)$ 行共有 $m+1$ 个数,第 $m$ 行的第 $1$ 个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_{m-1}^0$,第 $2$ 个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_ m^1$,第 $n$($n\geqslant 3$)个数为 $\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+n-2}^{n-1}-\mathop{\rm C}\nolimits_ {m+n-2}^{n-3}$.规定:$\mathop{\rm C}\nolimits_ 0^0=1$. \[\begin{array}{ccccccc} \mathop{\rm C}\nolimits_ 0^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 1^1&&&&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 1^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 2^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 3^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 3^0&&&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 2^0&\mathop{\rm C}\nolimits_3^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 4^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 4^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 3^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^1&&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 3^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 4^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^4-\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^2&&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 4^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 5^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^4-\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^2&\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^5-\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^3&\\ \mathop{\rm C}\nolimits_ 5^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 6^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^2-\mathop{\rm C}\nolimits_ 7^0&\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^3-\mathop{\rm C}\nolimits_ 8^1&\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^4-\mathop{\rm C}\nolimits_ 9^2&\mathop{\rm C}\nolimits_ {10}^5-\mathop{\rm C}\nolimits_ {10}^3&\mathop{\rm C}\nolimits_ {11}^6-\mathop{\rm C}\nolimits_ {11}^4\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{array}\]

1、试判断每一行的最后两个数的大小关系,并证明你的结论.

2、求证:每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数.

3、从第 $1$ 行起,每一行最后一个数依次构成数列 $\left\{a_n\right\}$,设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$.是否存在正整数 $k$,使得对任意正整数 $n$,$k S_n\leqslant 4^n-1$ 恒成立?如存在,请求出 $k$ 的最大值,如不存在,请说明理由.

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每日一题[3436]小小构造

己知 $F$ 为抛物线 $C: x^2=2 p y$($p>0$)的焦点,点 $A$ 在 $C$ 上,$\overrightarrow{FA}=\left(\sqrt 3,-\dfrac 1 4\right)$.点 $P(0,-2)$,$M,N$ 是拋物线上不同两点,直线 $PM$ 和直线 $PN$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$.

1、求 $C$ 的方程.

2、存在点 $Q$,当直线 $MN$ 经过点 $Q$ 时,$3\left(k_1+k_2\right)-2 k_1 k_2=4$ 恒成立,请求出满足条件的所有点 $Q$ 的坐标.

3、对于 $(2)$ 中的一个点 $Q$,当直线 $MN$ 经过点 $Q$ 时,$|MN|$ 存在最小值,试求出这个最小值.

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每日一题[3435]三射线定理

如图,直三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 的体积为 $1$,$AB\perp BC$,$AB=2$,$BC=1$.

1、求证:$BC_1\perp A_1 C$.

2、求二面角 $B_1-A_1 C-B$ 的余弦值.

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每日一题[3434]左右飘摇

设钝角 $\triangle ABC$ 三个内角 $A,B,C$ 所对应的边分别为 $a,b,c$,若 $a=2$,$b\sin A=\sqrt 3$,$c=3$,则 $b=$ _______.

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每日一题[3433]参数方程

已知圆 $O: x^2+y^2=2$,过点 $M(-3,1)$ 的直线 $l$ 交圆 $O$ 于 $A,B$ 两点,且 $\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MB}$,则满足上述条件的直线 $l$ 的方程为_______.

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每日一题[3432]极化恒等式

在长方形 $ABCD$ 中,$AB=8$,$AD=6$,点 $E,F$ 分别为边 $BC$ 和 $CD$ 上两个动点(含端点),且 $EF=5$,设 $\overrightarrow{BE}=\lambda\overrightarrow{BC}$,$\overrightarrow{DF}=\mu\overrightarrow{DC}$,则(       )

A.$\dfrac 1 6\leqslant\lambda\leqslant 1$,$\dfrac 3 8\leqslant\mu\leqslant 1$

B.$\lambda+\mu$ 为定值

C.$\overline{AE}\cdot\overrightarrow{AF}$ 的最小值 $50$

D.$\left|\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}\right|$ 的最大值为 $\sqrt{265}$

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每日一题[3431]最大张角

正三棱锥 $P-ABC$ 和正三棱锥 $Q-ABC$ 共底面 $ABC$,这两个正三棱锥的所有顶点都在同一个球面上,点 $P$ 和点 $Q$ 在平面 $ABC$ 的异侧,这两个正三棱锥的侧面与底面 $ABC$ 所成的角分别为 $\alpha,\beta$,则当 $\alpha+\beta$ 最大时,$\tan (\alpha+\beta)=$ (       )

A.$-\dfrac 1 3$

B.$-\dfrac 2 3$

C.$-1$

D.$-\dfrac 4 3$

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每日一题[3430]新传球问题

羽毛球比赛水平相当的甲,乙,丙三人举行羽毛球比赛.规则为:每局两人比赛,另一人担任裁判.每局比赛结束时,负方在下一局比赛中担任裁判.如果第 $1$ 局甲担任裁判,则第 $3$ 局甲还担任裁判的概率为(       )

A.$\dfrac 1 4$

B.$\dfrac 1 3$

C.$\dfrac 1 2$

D.$\dfrac 2 3$

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