Math173

设正整数 $m, n$ 均不大于 $2021$，且 $\dfrac{m}{n+1}<\sqrt{2}<\dfrac{m+1}{n}$，则这样的数组 $(m, n)$ 个数为（       ）

A．$2021$

B．$1428$

C．$3449$

D．以上答案都不对

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设正整数 $n \leqslant 2021$，且 $n^{5}-5 n^{3}+4 n+7$ 是完全平方数，则可能的 $n$ 的个数为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．以上答案都不对

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设 $a_{n}$ 是与 $\sqrt{\dfrac{n}{2}}$ 的差的绝对值最小的整数，$b_{n}$ 是与 $\sqrt{2 n}$ 的差的绝对值最小的整数．记 $\left\{\dfrac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$，$\left\{\dfrac{1}{b_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$，则 $2 T_{100}-S_{100}$ 的值为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．以上答案都不对

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如果一个十位数 $F$ 的各位数字之和为 $81$，则称 $F$ 是一个“好数”，则好数的个数为（       ）

A．$48618$

B．$48619$

C．$48620$

D．以上答案都不对

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已知 $a,b,c$ 是三个不全相等的实数且满足 $a=a b+c$，$b=b c+a$，$c=c a+b$，则 $a+b+c=$ （       ）

A．$0$

B．$1$

C．$2$

D．$3$

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设 $y_{n}=1 \underbrace{22 \cdots 2}_{n\text{ 个 }2}1$，若 $10^{9}-1 \mid y_{n}$，则 $n$ 的最小值为（       ）

A．$71$

B．$72$

C．$80$

D．$81$

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已知实数 $x_{0} \in[0,1)$．数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$，有\[x_n=\begin{cases} 2x_{n-1},&x_{n-1}<\dfrac 12,\\ 2x_{n-1}-1,&x_{n-1}\geqslant\dfrac 12.\end{cases}\]现知 $x_{0}=x_{2021}$，则可能的 $x_{0}$ 的个数为（       ）

A．$2021$

B．$2^{2021}-1$

C．$2^{2021}$

D．以上答案都不对

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若平面上有 $100$ 条二次曲线，则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域，则连通区域数量最大值为（       ）

A．$19902$

B．$20001$

C．$20101$

D．以上答案都不对

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已知 $S=\displaystyle\sum_{i=0}^{2021}\left[\frac{2^{i}}{7}\right]$，则 $S$ 的个位数字是（       ）

A．$4$

B．$5$

C．$7$

D．以上答案都不对

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若实数 $a, b, c, d$ 满足 $a b+b c+c d+d a=1$，则 $a^{2}+2 b^{2}+3 c^{2}+4 d^{2}$ 的最小值为（       ）

A．$1$

B．$2$

C．$3$

D．以上答案都不对

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