每日一题[1784]长除法

整数 $\left[\dfrac{10^{93}}{10^{31}+3}\right]$ 的末位两位数字是_______.

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每日一题[1783]估算

将正奇数集合 $\{1,3,5,\cdots\}$ 由小到大按第 $n$ 组有 $2n-1$ 个奇数进行分组:\[\begin{split} &1,\\ &3,5,7,\\ &9,11,13,15,17,\\ &\cdots, \end{split}\]则 $1991$ 位于第_______行.

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每日一题[1782]藏起的辅助线

方程 $|x-y^2|=1-|x|$ 表示的曲线为(       )

A.

B.

C.

D.

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每日一题[1781]勾股数

在直角坐标平面上,以 $(199,0)$ 为圆心,以 $199$ 为半径的圆周上,整点(即横、纵坐标均为整数)的点的个数为_______.

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每日一题[1780]极坐标

曲线 $C$ 的极坐标方程是 $\rho=1+\cos\theta$,点 $A$ 的极坐标是 $(0:2)$,曲线 $C$ 在它所在的平面内绕 $A$ 旋转一周,则它扫过的图形的面积是_______.

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每日一题[1779]割补

设 $A(2,0)$ 为平面上的一定点,$P(\sin(2t-60^\circ),\cos(2t-60^\circ))$ 为动点,则当 $t$ 由 $15^\circ$ 变到 $45^\circ$ 时,线段 $AP$ 所扫过的图形的面积是_______.

答案    $\dfrac{\pi}6$.

解析    根据题意,$P$ 点轨迹是从 $P_1\left(\dfrac{2\pi}3:1\right)$ 到 $P_2\left(\dfrac{\pi}3:1\right)$ 的圆弧,因此线段 $AP$ 所到过的图形即图中阴影部分.

考虑到 $\triangle P_1OA$ 与 $\triangle P_2OA$ 的面积相同,因此曲边三角形 $AP_1P_2$ 的面积与扇形 $OP_1P_2$ 的面积相同,为 $\dfrac{\pi}6$.

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每日一题[1778]变幻的椭圆

已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1$($a>b>0$)通过点 $(2,1)$,则这些椭圆上满足 $\mid y\mid>1$ 的点的集合用阴影表示是下面图中的(       )

A.

B.

C.

D.

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每日一题[1777]俄罗斯套娃

平面上有三个点集 $M,N,P$:\[\begin{split} M&=\{(x,y)\mid |x|+|y|<1\},\\ N&=\{(x,y)\mid \left\{\sqrt{\left(x-\dfrac 12\right)^2+\left(y+\dfrac 12\right)^2}+\sqrt{\left(x+\dfrac 12\right)^2+\left(y-\dfrac 12\right)^2}<2\sqrt 2\right\},\\ P&=\{(x,y)\mid |x+y|<1,|x|<1,|y|<1\},\end{split}\]则(       )

A.$M\subsetneqq P\subsetneqq N$

B.$M\subsetneqq N\subsetneqq P$

C.$P\subsetneqq P\subsetneqq M$

D.以上答案均不正确

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每日一题[1776]拼图

现有边长为 $3,4,5$ 的三角形两个,边长分别为 $4,5,\sqrt{41}$ 的三角形四个,边长分别为 $\dfrac{5\sqrt 2}6,4,5$ 的三角形六个,用上述三角形为面,可以拼成_______个不同的四面体.

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每日一题[1775]内忧外患

已知集合 $A=\big\{(x,y)\mid |x|+|y|=a,a>0\big\}$,$B=\big\{(x,y)\mid |xy|+1=|x|+|y|\big\}$.若 $A\cap B$ 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则 $a$ 的值为_______.

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