每日一题[880]对边描述的四面体

如图,四面体$ABCD$中,$AB$和$CD$为对棱.设$AB = a$,$CD = b$,且异面直线$AB$与$CD$的距离为$d$,夹角为$\theta $.

(1)若$\theta = \dfrac{{{\pi }}}{2}$,且棱$AB$垂直于平面$BCD$,求四面体$ABCD$的体积;

(2) 当$\theta = \dfrac{{{\pi }}}{2}$时,证明:四面体$ABCD$的体积为一定值;

(3)求四面体$ABCD$的体积.

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每日一题[879]挖掘几何意义

已知$ax + y = 2a + 3\;$($a$为正常数,$x \geqslant 0 ,y \geqslant 0$),若${x^2} + {y^2}$的最大值为$S$,且$S \in \left[ {49,121} \right]$,则$a$的取值范围为______.

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每日一题[878]函数的最值

已知函数$f(x) = \dfrac{{a + 3bx + \sin x + bx\cos x}}{{3 + \cos x}}$($a , b \in {\mathbb{R}}$),若$f(x)$在${\mathbb {R}}$上既有最大值,又有最小值,且最大值与最小值的和为$6$,则$a + b = $______.

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每日一题[877]参差不齐

已知$ - 6 \leqslant {x_i} \leqslant 10$($i = 1, 2, \cdots , 10$),$\sum\limits_{i = 1}^{10} {{x_i}} = 50$,当$\sum\limits_{i = 1}^{10} {{x_i}^2} $取得最大值时,在${x_1}, {x_2}, \cdots , {x_{10}}$这$10$个数中等于$-6$的数共有_____个.

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每日一题[876]焦点三角形的内心

已知椭圆$\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$($a > b > 0$),${F_1}$、${F_2}$为其左右焦点,$P$为椭圆$C$上任意一点,$I$为$\triangle P{F_1}{F_2}$内切圆圆心,点$G$满足$\overrightarrow {P{F_1}}+ \overrightarrow {P{F_2}}= 3\overrightarrow {PG} $且$\overrightarrow {GI}= \lambda \overrightarrow {{F_1}{F_2}} $($\lambda\in {\mathbb {R}}$且$\lambda\ne 0$),则椭圆的离心率是________.

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每日一题[875]数列中的计数

数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$共有$11$项,${a_1} = 0$,${a_{11}} = 4$,且$\left| {{a_{k + 1}} - {a_k}} \right| = 1$,$k = 1,2,\cdots,10$,满足这种条件的不同数列的个数为______.

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2017年高考天津卷理科压轴题详解

(理8)已知函数$$f(x)=\begin{cases}x^2-x+3,&x\leqslant 1,\\ x+\dfrac 2x,&x>1,\end{cases}$$设$a\in \mathbb R$,若关于$x$的不等式$f(x)\geqslant \left|\dfrac x2+a\right|$在$\mathbb R$上恒成立,则$a$的取值范围是(  )

A.$\left[-\dfrac{47}{16},2\right]$

B.$\left[-\dfrac{47}{16},\dfrac{39}{16}\right]$

C.$\left[-2\sqrt 3,2\right]$

D.$\left[-2\sqrt 3,\dfrac{39}{16}\right]$

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每日一题[874]椭圆的光学性质

对于两条垂直直线和一个椭圆,已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹.

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2017年高考山东卷理科压轴题详解

(理10)已知当$x\in [0,1]$时,函数$y=(mx-1)^2$的图象与$y=\sqrt x+m$的图象有且只有一个交点,则正实数$m$的取值范围是(  )

A.$(0,1]\cup \left[2\sqrt 3,+\infty\right)$

B.$(0,1]\cup \left[3,+\infty\right)$

C.$\left(0,\sqrt 2\right]\cup \left[2\sqrt 3,+\infty\right)$

D.$\left(0,\sqrt 2\right]\cup \left[3,+\infty\right)$

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2017年高考全国III卷理科压轴题详解

(理12)在矩形$ABCD$中,$AB=1$,$AD=2$,动点$P$在以点$C$为圆心且与$BD$相切的圆上,若$\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AD}$,则$\lambda+\mu$的最大值为(  )
A.$3$
B.$2\sqrt 2$
C.$\sqrt 5$
D.$2$

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