每日一题[2070]内外心重合

如果 $\cos x+\cos y+\cos z=0$,$ \sin x+\sin y=\sin z$,那么 $ \cos ^{2} x+\cos ^{2} y+\cos ^{2} z=$ _______.

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每日一题[2069]左右逢源

已知 $1+\sqrt 2+\cdots+\sqrt n<C\cdot (n+1)^{\frac 32}$,求证:当 $C=\dfrac 23$ 时,不等式恒成立,且 $C<\dfrac 23$ 时该不等式不恒成立.

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每日一题[2068]强硬分离

已知 $f(x)=x^3+ax^2-x+1-a$,且对任意 $x\in [-1,1]$,$|f(x)|\geqslant |x|$ 恒成立,求实数 $a$ 的取值范围.

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每日一题[2067]基本极限

已知 $a=2020^{2020}$,$b=\sqrt{2019^{2021}\cdot 2021^{2019}}$,$c=\dfrac 12\left(2019^{2021}+2021^{2019}\right)$,则 $a,b,c$ 的大小顺序是_______(从小到大用 $<$ 连接).

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每日一题[2066]平行四边形区域

若 $|5x+6y|+|9x+11y|\leqslant 1$,则点 $(x,y)$ 对应的点集图形的面积 $S=$ _______.

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每日一题[2065]缺斤短两

已知 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数,如 $[\pi]=3$,$[-\pi]=-4$ 等,则\[\left[\dfrac{2^0}3\right]+\left[\dfrac {2^1}{3}\right]+\left[\dfrac{2^2}{3}\right]+\cdots+\left[\dfrac{2^{2020}}3\right]\]的值是_______.

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每日一题[2064]小心配平

已知 $\left|\boldsymbol a\right|=\left|\boldsymbol a+2\boldsymbol b\right|=2$,求 $\left|2\boldsymbol a+\boldsymbol b\right|+\left|\boldsymbol b\right|$ 的最大值.

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每日一题[2063]分段处理

已知方程 $2^x-\sin x=1$,则下列判断中正确的有(        )

A.方程没有正数解

B.方程有无穷多个解

C.方程有一个正数解

D.方程的实数解小于 $1$

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每日一题[2062]染色方程

有一长、宽、高分别为正整数 $m, n, r$($m \leqslant n \leqslant r$)的长方体,表面涂上红色后切成棱长为 $1$ 的正方体,已知不带红色的正方体个数与两面带红色的正方体个数之和,减去一面带红色的正方体个数得 $1985$.求 $m, n, r$ 的值.

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每日一题[2061]穿肉串

$[x]$ 表示取数 $x$ 的整数部分,例如 $\left[\dfrac{15}{4}\right]=3$ 等,若\[y=4\left(\frac{x+[u]}{4}-\left[\frac{x+[u]}{4}\right]\right),\]且\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline x&1,8,11,14& 2,5,12,15&3,6,9,16& 4,7,10,13\\ \hline y&1&2&3&0 \\ \hline\end{array}\] 则表达式中 $u$ 等于_______.

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