每日一题[1054]正弦型函数

已知函数 \(f(x)=\sqrt 2a\sin\left(\omega\pi x+\varphi\right)\) 其中 \(a,\omega>0\),\(|\varphi|\leqslant \dfrac {\pi}2\),直线 \(y=a\) 与 \(f(x)\) 的图象的相邻两个交点的横坐标分别是 \(2\) 和 \(4\),现有如下命题:

① 该函数在 \([2,4]\) 上的值域是 \(\left[a,\sqrt 2a\right]\);
② 在 \([2,4]\) 上,函数在 \(x=3\) 处取得最大值;
③ 该函数的最小正周期可以是 \(\dfrac 83\);
④ 函数 \(f(x)\) 的图象可能过原点.
上述命题中,正确的命题是__________.

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每日一题[1053]立体几何中的动态问题

在棱长 $1$ 为正四面体 $D-ABC$ 中,$O$ 为 $\triangle ABC$ 的中心,过点 $O$ 作直线分别与线段 $AC,BC$ 交于 $M,N$(可以是线段的端点),连接 $DM$,点 $P$ 为 $DM$ 的中点,则下列说法正确的是(  )

A.存在某一位置,使得 $NP\perp$ 面 $DAC$
B.$\triangle DMN$ 面积的最大值为 $\dfrac{\sqrt 2}4$
C.$\tan^2\angle DMN+\tan^2\angle DNM$ 的最小值为 $12$
D.棱锥 $D-MNC$ 与棱锥 $D-MNBA$ 的体积之比的取值范围是 $\left[\dfrac 45,1\right]$

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每日一题[1052]贫富不悬殊

已知函数 \(f(x)=x+\dfrac ax\)(\(a>0\)),若对任意的 \(m,n,p\in\left[\dfrac 13,1\right]\),长为 \(f(m),f(n),f(p)\) 的三条线段均可以构成三角形,则实数 \(a\) 的取值范围是_______.

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每日一题[1051]三次函数的性质

已知函数 \(f(x)=x^3+px^2+qx\) 与 \(x\) 轴相切于点 \(\left(x_0,0\right)\)(\(x_0\ne 0\)),且极小值为 \(-4\),则 \(p+q\) 的值是(  )

A.\(12\)
B.\(13\)
C.\(15\)
D.\(16\)

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每日一题[1050]和积相等

如果存在 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$,它们的和与乘积相等($n=1$ 时它们的和与积就是自身),即\[a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1\cdot a_2\cdots a_n,\]则称 $n$ 具有性质 $P$.
(1)求证:所有正整数都具有性质 $P$;
(2)若存在 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$,它们的和与乘积相等($n=1$ 时它们的和与积就是自身)且恰好等于 $n$,即\[a_1+a_2+\cdots+a_n=a_1\cdot a_2\cdots a_n=n,\]则称 $n$ 具有性质 $Q$,求所有具有性质 $Q$ 的正整数构成的集合.

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每日一题[1049]抓大放小

已知坐标平面 $xOy$ 上 $N$ 为圆 $x^2+y^2=1$ 上的一个动点,平面内动点 $M(x_0,y_0)$ 满足 $|y_0|\geqslant 1$ 且 $\angle OMN=30^\circ$,则动点 $M$ 运动的区域面积是______.

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练习题集[98]不等式提高练习

1.已知正实数 $a,b,c$ 满足 $abc=1$,求证:$5+\dfrac ab+\dfrac bc+\dfrac ca\geqslant (1+a)(1+b)(1+c)$

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每日一题[1048]互为因果

已知二次函数 \(f(x)=ax^2+bx+c\) 满足 \(|f(0)|,|f(-1)|,|f(1)|\) 均不大于 \(1\),则当 \(x\in [-1,1]\) 时,\(|f(x)|\) 的最大值 \(M(a,b,c)\) 的最大值是________.

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每日一题[1047]一目了然

已知 \(\triangle ABC\) 的面积为 \(1\),\(AB\) 的平行线分别交 \(AC,BC\) 于 \(D,E\),连接 \(BD\),\(\triangle DCE,\triangle DBE,\triangle DBA\) 的面积分别记为 \(S_1,S_2,S_3\),则(  )A.\(\max\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最小值为\(\dfrac 13\)
B.\(\max\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最小值为\(\dfrac{3-\sqrt 5}2\)
C.\(\min\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最大值为\(\dfrac 13\)
D.\(\min\{S_1,S_2,S_3\}\) 的最大值为\(\dfrac 14\)

注 所有选择题默认是不定项选择.

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每日一题[1046]各个击破

已知 \(\alpha,\beta\in\left(0,\dfrac{\pi}2\right)\),则 \(\cos\alpha+\dfrac 32\cos\beta-\cos\left(\alpha+\beta\right)\) 的最大值是_______.

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