已知函数 $f(x)={\rm e}^x-k({\rm e}-1)x$．
1、若函数 $f(x)$ 有两个零点，求实数 $k$ 的取值范围．
2、若 $f(x)-kx\ln x\geqslant 1$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立，求实数 $k$ 的取值范围．
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每日一题[1829]极化恒等式
在 $\triangle ABC$ 中，点 $E,F$ 分别是线段 $AB,AC$ 的中点，点 $P$ 在直线 $EF$ 上，若 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$，则 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}^2$ 的最小值是（ ）
A．$2$
B．$3$
C．$3\sqrt 2$
D．$2\sqrt 3$
每日一题[1828]扰动区间
已知函数 $f(x)=x\ln x-2ax^2+3x-a$，$a\in\mathbb Z$．
1、当 $a=1$ 时，判断 $x=1$ 是否是函数 $f(x)$ 的极值点，并说明理由．
2、当 $x>0$ 时，不等式 $f(x)\leqslant 0$ 恒成立，求整数 $a$ 的最小值．
每日一题[1827]分拆
设正整数 $a,b,cd$ 满足 $a>b>c>d$ 且 $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$，证明：$ab+cd$ 不是素数．
每日一题[1826]端点分析
已知函数 $f(x)=2ax+{\rm e}^x$，$g(x)=ax^2-2ax-x{\rm e}^x$，$a\in \mathbb R$．
1、讨论函数 $f(x)$ 的单调区间．
2、若对任意实数 $x$，$f(x)+g(x)\leqslant 1$，求 $a$ 的取值范围．
每日一题[1825]强分离
已知 $a$ 是实数，函数 $f(x)=x-a\ln x$．
1、若函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值，求实数 $a$ 的值．
2、若函数 $g(x)=-\dfrac{1+a}x$，存在 $x\in [1,{\rm e}]$，使得 $f(x)<g(x)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．
每日一题[1824]首尾呼应
求所有的正整数 $n$（$n\geqslant 3$），存在 $n$ 个连续的正整数，其中最大的数是其余 $n-1$ 个数的最小公倍数的因数．
每日一题[1823]离散的恒成立
设函数 $f(x)=x{\rm e}^x-ax+a$，若存在唯一的整数 $x_0$，使得 $f(x_0)<0$，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
每日一题[1822]公约数与公倍数
设 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$，$m>n$，证明：$[m,n]+[m+1,n+1]>\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}$．
每日一题[1821]先选后排
在区间 $\left[100,999\right]$ 上，调换数位的排列顺序后可被 $11$ 整除（如 $121$ 和 $211$）的数的个数为_______．