每日一题[1481]函数值系数

已知对于任意的 $x\in [-1,1]$,都有 $|ax^2+bx+c|\leqslant 1$,求证:对于任意的 $x\in [-1,1]$,都有 $|cx^2+bx+a|\leqslant 2$.

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每日一题[1480]构造幕布

如图,在单位四面体 $ABCD$ 中,$M,N,K$ 分别在棱 $AB,AD,BD$ 上,满足 $BM=DN=\dfrac 13$,$DK=\dfrac 14$,则面 $ACK$ 与面 $CMN$ 所夹锐角的余弦值为_______.

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每日一题[1479]均分

已知 $100$ 个不大于 $100$ 的正整数 $a_i$,满足 $a_1+a_2+\cdots+a_{100}=200$,求证:可以从 $a_1,a_2,\cdots,a_{100}$ 中选出若干个数,它们的和为 $100$.

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每日一题[1478] 前后为难

任意 $m$ 个连续正整数中,必有一个数的各位数码之和是 $11$ 的倍数,则 $m$ 的最小值为_______.

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每日一题[1477]高斯函数

严格递增的正实数数列 $\{x_n\}$ 满足:$x\in\{x_n\}$ 当且仅当 $x+\{x\}^2$ 为整数(其中等式中的 $\{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分),那么这个数列的前 $100$ 项之和是______.

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每日一题[1476]正交点轨迹

在坐标平面内,从原点出发以同一初速度 $v_0$ 和不同发射角(即发射方向与 $x$ 轴轴向之间的夹角)$\alpha$($\alpha\in [0,\pi]$,$\alpha\ne \dfrac{\pi}2$)射出的质点,在重力的作用下运动轨迹是抛物线,所有这些抛物线组成一个抛物线族,若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直,则称这个交点为正交点.证明:此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧,并求此椭圆弧的方程.

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每日一题[1475]复数的三角形式

设复数 $z$,$\left|z+\dfrac 1z\right|=1$,则 $|z|$ 的取值范围为_______.

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每日一题[1474]分段函数的零点

设函数 $f(x)=\begin{cases}x,&x\geqslant a,\\ x^3-3x,&x<a.\end{cases}$

$(1)$ 若 $f(x)$ 有两个零点,则实数 $a$ 的取值范围是_______;

$(2)$ 若 $a\leqslant -2$,则满足 $f(x)+f(x-1)>-3$ 的 $x$ 的取值范围是_______.

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每日一题[1473]数列上界估计

已知 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 是由正整数组成的无穷数列.对任意 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$,$a_n$ 满足如下两个条件: ① $a_n$ 是 $n$ 的倍数; ② $|a_n-a_{n+1}|\leqslant 5$.

1、若 $a_1=30$,$a_2=32$,写出满足条件的所有 $a_3$ 的值.

2、求证:当 $n\geqslant 11$ 时,$a_n\leqslant 5n$.

3、求 $a_1$ 所有可能取值中的最大值.

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每日一题[1472]椭圆的参数弦方程

过椭圆 $W:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左焦点 $F_1$ 作直线 $l_1$ 交椭圆于 $A,B$ 两点,其中 $A(0,1)$.另一条过 $F_1$ 的直线 $l_2$ 交椭圆于 $C,D$ 两点(不与 $A,B$ 两点重合),且 $D$ 点不与点 $(0,-1)$ 重合.过 $F_1$ 作 $x$ 轴的垂线,分别交直线 $AD,BC$ 于 $E,G$.

1、求 $B$ 点坐标和直线 $l_1$ 的方程.

2、求证:$|EF_1|=|GF_1|$.

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