每日一题[819]切线放缩

已知$x_1\ln x_1=x_2\ln x_2=a$($x_1< x_2$),${\rm e}$是自然对数的底.求证:$x_2-x_1<2a+1+{\rm e}^{-2}$.

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每日一题[818]平面向量中的换元

已知向量$\overrightarrow {a},\overrightarrow b$满足$\left|\overrightarrow a+\overrightarrow b\right|=2m$,$\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|=2n$,求$|\overrightarrow a|\cdot |\overrightarrow b|$的取值范围.

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从勾股数出发构造

试在$m\times n$的矩形表中填入$m\cdot n$个互不相同的数,使得每一行每一列的平方和都是平方数.

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每日一题[817]椭圆内接三角形

已知$A$是椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的下顶点,若以$A$为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形有且仅有$3$个,求椭圆离心率$e$的取值范围.

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每日一题[816]向中心靠拢

求$\dfrac{1}{\cos 50^\circ}+\tan 10^\circ$的值.

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每日一题[815]非线性规划

已知$P(x,y)$的坐标满足$\begin{cases}x\leqslant 0,\\ y>x,\\y<2x+1,\end{cases}$求$\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}}$的取值范围.

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每日一题[814]相关直线处理

已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的右顶点为$P$,过$P$作互相垂直的两条直线,分别与椭圆$E$交于不同于$P$的点$A,B$,求证:直线$AB$恒过定点.

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每日一题[813]数列收敛

求证:数列$\left\{\left(1+\dfrac 1n\right)^n\right\}$收敛.

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每日一题[812]规律探究

各项均为正整数的数列$\left\{a_n\right\}$,满足$a_{n+1}=a_n+b_n$,其中$b_n$是$a_n$的末位数字,下列关于数列$\left\{a_n\right\}$的说法正确的是(        )

A.如果$a_1$是$5$的倍数,那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$必有相同的项
B.如果$a_1$不是$5$的倍数,那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$必没有相同的项
C.如果$a_1$不是$5$的倍数,那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$只有有限个相同的项
D.如果$a_1$不是$5$的倍数,那么数列$\left\{a_n\right\}$与数列$\left\{2^n\right\}$有无穷多个相同的项

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每日一题[811]周期函数

已知圆周率$\pi$是无理数,函数$f(x)=\sin x+\sin (\pi x)$,求证:$f(x)$不是周期函数.

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