每日一题[1665]糖水不等式

已知 $\lg a+ \lg b+\lg c=0$,证明:$1<\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}<2$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1664]独树一帜

与正四面体 $4$ 个顶点距离之比为 $1:1:1: \sqrt 2$ 的平面共有_______个.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1663]物以类聚

将 $2,3,4,6,8,9,12,15$ 共 $8$ 个数排成一行,使得任意相邻两个数的最大公约数均大于 $1$,则所有可能的排法数为[[nn]]

A.$720$

B.$1014$

C.$576$

D.$1296$

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1662]构造图形

若函数 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2-6y+9}+\sqrt{x^2+y^2+2\sqrt 3x+3}+\sqrt{x^2+y^2-2\sqrt 3x+3}$,则 $f(x,y)$ 的最小值是(       )

A.$3+2\sqrt 3$

B.$2\sqrt 3+2$

C.$6$

D.$8$

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1661]分解

已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$,则 $\left|z^3+3z+2\rm i\right|$ 的最大值为(       )

A.$4\sqrt 2$

B.$3\sqrt 3$

C.$2\sqrt 5$

D.$4\sqrt 3$

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1660]由外及内

如图,$\triangle ABC$ 为锐角三角形,外接圆圆心为 $O$,半径为 $R$,$AO$ 的延长线交 $\triangle BOC$ 的外接圆于点 $A'$,$BO$ 的延长线交 $\triangle AOC$ 的外接圆于点 $B'$,$CO$ 的延长线交 $\triangle AOB$ 的外接圆于点 $C'$,求证:$OA' \cdot OB' \cdot OC' \geqslant 8R^3$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 留下评论

每日一题[1659]不分离

已知函数 $f(x)=\dfrac 13x^3-a(x^2+x+1)$.

1、若 $a=3$,求 $f(x)$ 的单调区间.

2、证明:$f(x)$ 只有一个零点.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1658]转圈圈

设 $A$ 是一个含有 $n$ 个元素的集合,$A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 是 $A$ 的互不相同的 $n$ 个子集.证明:在 $A$ 中存在一个元素 $a$,使得 $A_{1}-\{a\},A_{2}-\{a\},\cdots,A_{n}-\{a\}$ 仍是互不相同的集合,其中 $A_{i}-\{a\}=\{x\in A_{i}\mid x\ne a\}$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1657]面积坐标公式

过原点且斜率为正值的直线交椭圆 $\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 于 $E,F$ 两点,设 $A(2,0),B(0,1)$.求四边形 $AEBF$ 面积的最大值.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1656]密不透风

集合 $A$ 是由 $\{1,2,3,\cdots,50\}$ 中的 $40$ 个元素组成的子集,$S$ 为集合 $A$ 中的所有元素之和,则 $S$ 的取值个数为_______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论