每日一题[1422]对称差集

设 $A,B$ 是有限集,定义:$d\left(A,B\right)={\mathrm{card}}\left(A\cup B\right)-{\mathrm{card}}\left(A\cap B\right)$,其中 ${\mathrm{card}}\left(A\right)$ 表示有限集 $A$ 中元素的个数.

命题 ①:对任意有限集 $A,B$,$A\neq B$ 是 $d\left(A,B\right)>0$ 的充分必要条件;

命题 ②:对任意有限集 $A,B,C$,$d\left(A,C\right)\leqslant d\left(A,B\right)+d\left(B,C\right)$.(       )

A.命题 ① 和命题 ② 都成立

B.命题 ① 和命题 ② 都不成立

C.命题 ① 成立,命题 ② 不成立

D.命题 ① 不成立,命题 ② 成立

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每日一题[1421]累次求最值

已知 $a,b,c>0$,且 $a+3b+c=9$,则 $a+b^2+c^3$ 的最小值为_______.

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每日一题[1420]追求轮换

已知 $a,b,c>0$,且 $abc=1$,求证:$\dfrac{1}{a^2+2b^2+3}+\dfrac{1}{b^2+2c^2+3}+\dfrac{1}{c^2+2a^2+3}\leqslant \dfrac 12$.

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每日一题[1419]移形换影

设双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)右支上一动点 $P$,过 $P$ 向双曲线的渐近线作垂线,垂足分别为 $A$ 与 $B$,若 $A,B$ 始终在第一、四象限内,$O$ 为坐标原点,则此双曲线的离心率 $e$ 的取值范围为(       )

A.$\left(1,\sqrt 3\right]$

B.$(1,3]$

C.$\left(1,\sqrt 2\right]$

D.$(1,2]$

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每日一题[1418]构造递推

已知 $x+y+z=0$,求证:$\dfrac{x^5+y^5+z^5}5=\dfrac{x^2+y^2+z^2}2\cdot \dfrac{x^3+y^3+z^3}3$.

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每日一题[1417]分割函数

已知函数 $f(x)=(x+1){\rm e}^{ax}$($a\ne 0$)在点 $\left(\dfrac 2a,f\left(\dfrac 2a\right)\right)$ 处的切线斜率为 $0$.

1、求 $a$ 的值.

2、求 $f(x)$ 在 $[t-1,t+1]$ 上的最大值.

3、设 $g(x)=f(x)+2x+3x\ln x$,求证:对任意 $x_1,x_2\in(0,1)$ 都有 $|g(x_1)-g(x_2)|<\dfrac 2{{\rm e}^3}+\dfrac 3{{\rm e}}+1$.

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每日一题[1416]消弭外心

已知 $O$ 为 $\triangle ABC$ 的外心,有 $|AB|=2$,$|AC|=4$,则 $|AO|\cdot |BC|$ 的最小值是_______.

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每日一题[1415]比大小

如图,正四面体 $ABCD$ 中,点 $P,Q,R$ 分别在棱 $AB,AD,AC$ 上,且 $AQ=QD$,$\dfrac{AP}{PB}=\dfrac{CR}{RA}=\dfrac 12$,分别记二面角 $A-PQ-R$,$A-PR-Q$,$A-QR-P$ 的平面角为 $\alpha,\beta,\gamma$,则(       )

A.$\beta>\gamma>\alpha$

B.$\gamma>\beta>\alpha$

C.$\alpha>\gamma>\beta$

D.$\alpha>\beta>\gamma$

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每日一题[1414]分解因式

关于 $x$ 的方程 $\lg (1-2^x+5^x-20^x+50^x)=2x$ 的解集是_______.

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每日一题[1413]比大小

如图,矩形 $ABCD$ 沿对角线 $BD$ 将 $\triangle ABD$ 翻折成 $\triangle A'BD$,异面直线 $CD$ 与 $A'B$ 所成的角为 $\alpha$,则(       )

A.$\alpha<\angle A'CD$

B.$\alpha>\angle A'CD$

C.$\alpha<\angle A'CA$

D.$\alpha>\angle A'CA$

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