Math173

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$，过点 $P(0,3)$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $A,B$ 两点，以线段 $AB$ 为直径作圆，试问该圆能否经过原点？若能，求出以 $AB$ 为直径的圆过原点时直线 $l$ 的方程；若不能，请说明理由．

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已知椭圆 $C$ 的中心在原点，焦点在 $x$ 轴上，点 $F$ 是椭圆 $C$ 的右焦点，直线 $l:x=4$ 是椭圆 $C$ 的右准线，$F$ 到直线 $l$ 的距离等于 $3$．

1、求椭圆 $C$ 的方程；

2、点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点，$PM\perp l$，垂足为 $M$，是否存在点 $P$，使得 $\triangle FPM$ 为等腰三角形？若存在，求出 $P$ 的坐标；若不存在请说明理由．

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记 $f(n)$ 是最接近 $\sqrt n$ 的整数，若\[\dfrac1{f(1)}+\dfrac 1{f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(m)}=4034 ,\]则正整数 $ m$ 的值是_______．

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已知正实数 $a,b,c$ 满足 $abc(a+b+c)=1$，则 $(a+b)(b+c)(a+c)$ 的最小值为_______．

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设 $a,b$ 是正实数，且 $ab=1$，求证：$\left(a+2b+\dfrac2{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac2{b+1}\right)\geqslant 16$．

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若 $a,b,c$ 均为正实数，且记 $m=\mathrm{min}\left\{\dfrac1a,\dfrac1{b^2},\dfrac1{c^3},a+b^2+c^3\right\}$，则 $m$ 的最大值为_______．

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设实数 $x,y>0$ 且满足 $x+y=k$，则使得不等式 $\left(x+\dfrac1x\right)\left(y+\dfrac1y\right)\geqslant\left(\dfrac k2+\dfrac2k\right)^2$ 恒成立的 $k$ 的最大值为_______．

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已知数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=\dfrac 23$，$a_2=\dfrac89$．当 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^\ast$ 时，有 $3a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}$．

1、证明：$\{a_{n+1}-a_{n}\}$ 为等比数列；

2、求数列 $\{a_n\}$ 的通项；

3、若对任意 $n\in \mathbb N^\ast$ 有 $\lambda a_1a_2\dots a_n\geqslant 1$ 均成立，其中 $\lambda\in\mathbb N^\ast$，求 $\lambda$ 的最小值．

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