已知函数 $f(x)=|x^2-4x|$，若关于 $x$ 的方程 $f(x)=m|x+1|-2$ 恰有 $4$ 个互异的实根，则实数 $m$ 的取值范围是_______．
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每日一题[1897]零点判断
已知函数 $f(x)$ 为反比例函数，曲线 $g(x)=f(x)\cdot \cos x+b$ 在 $x=\dfrac{\pi}2$ 处的切线方程为 $y=-\dfrac{6}{\pi}x+2$．
1、求 $g(x)$ 的解析式．
2、判断函数 $F(x)=g(x)+1-\dfrac{3}{2\pi}$ 在区间 $(0,2\pi]$ 内的零点的个数，并证明．
每日一题[1896]分解与同余
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=8a_n-7$，且 $\{a_n\}$ 中有且只有一个素数，写出 $a_1$ 的两个可能取值．
每日一题[1895]离散问题
已知函数 $f(x)=\ln x+(1-a)x+a$（$a>0$），若不等式 $f(x)>0$ 有且只有两个整数解，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(0,\dfrac{3+\ln 3}2\right)$
B．$(0,2+\ln 2)$
C．$\left[\dfrac{3+\ln 3}2,2+\ln 2\right)$
D．$\left[\dfrac{2\ln 2+4}3,\dfrac{3+\ln 3}2\right)$
每日一题[1894]联立计算
设过点 $P(-2,0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E:\dfrac{x^2}2+y^2=1$ 交于不同的两点 $A,B$，$F$ 为椭圆的右焦点，且直线 $AF,BF$ 分别交椭圆于不同于 $A,B$ 的点 $C,D$，且 $\lambda =\dfrac{AF}{FC}$，$\mu=\dfrac{BF}{FD}$，求 $\lambda+\mu$ 的取值范围．
每日一题[1893]阿波罗尼斯圆
已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2=4$，则 $3\sqrt{5-2x}+\sqrt{13-6y}$ 的最小值为_______．
答案 $2\sqrt{10}$．
解析 题中代数式即\[3\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-3)^2}=3PA+PB,\]其中 $A(1,0)$，$B(0,3)$．将 $x^2+y^2=4$ 看成阿波罗尼斯圆 $O$，其半径为 $r$，因此存在 $OA$ 延长线上的点 $A'$，和 $OB$ 线段上的点 $B'$，使得\[\begin{cases} \dfrac{OA'}{r}=\dfrac{r}{OA}=\lambda_A,\\ \dfrac{OB}{r}=\dfrac{r}{OB'}=\lambda_B,\end{cases}\iff \begin{cases} \lambda_A=2\land OA'=2,\\ \lambda_B=\dfrac 32\land OB'=\dfrac 43,\end{cases}\]因此 $3PA=\dfrac 32PA'$ 且 $PB=\dfrac 32PB'$，从而\[3PA+PB=\dfrac 32(PA'+PB')\geqslant \dfrac 32A'B'=\dfrac 32\sqrt{2^2+\left(\dfrac 43\right)^2}=2\sqrt{10},\]等号当 $P$ 为线段 $A'B'$ 与圆的公共点时取得．
每日一题[1892]对称换元
设 $a>b>0$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，$A_n=\dfrac{1}{n+1}\left(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\cdots+ab^{n-1}+b^n\right)$，$B_n=\left(\dfrac{a+b}2\right)^n$．
1、求证：$A_2>B_2$．
2、比较 $A_n,B_n$ 的大小，并证明．
每日一题[1891]伸缩变换
已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的两个顶点 $A(a,0)$，$B(0,b)$，过 $A,B$ 分别作 $AB$ 的垂线交椭圆 $T$ 于 $D,C$（不同于顶点），若 $BC=3AD$，则椭圆的离心率是_______．
每日一题[1890]阿波罗尼斯圆
在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知圆 $O:x^2+y^2=r^2$（$r>0$）与直线 $l:x+y-5=0$．若对圆 $O$ 上任意一点 $P$，在直线 $l$ 上均存在两点 $E,F$，使得 $PE=\sqrt 2PF$，且 $EF=8$，则 $r$ 的取值范围是_______．