每日一题[2140]数据可视化

已知复数 $z$ 满足 ${\rm Re}(z^2)=8$,则下列式子中可能成立的有(       )

A.$\arg z=\dfrac{\pi}3$

B.$|z|=5$

C.$|z-4|=1$

D.$|z-1|=2$

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每日一题[2139]消元

已知实数 $a,b,c,d,e$,满足\[\begin{cases} a+b+c+d+e=8,\\ a^2+b^2+c^2+d^2+e^2=16,\end{cases}\]则 $e$ 的取值范围是(       )

A.$[-2,2]$

B.$[0,1]$

C.$[0,2)$

D.以上答案都不对

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每日一题[2138]素数队列

设 $S=\{1,2,3,\cdots,2020\}$,如果 $S$ 中任意两个两两互质的数组成的集合中至少有一个质数,集合元素的个数 $n$ 的最小值为(       )

A.$15$

B.$16$

C.$17$

D.$18$

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每日一题[2137]正难则反

正六棱柱的 $12$ 个顶点的任意 $2$ 个顶点所在直线中,异面直线的对数为(       )

A.$1125$

B.$1278$

C.$1350$

D.$1542$

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每日一题[2136]来回投影

在空间中,过点 $A$ 作平面 $\pi$ 的垂线,垂足为 $B$,记 $B=f_{\pi}(A)$,设 $\alpha,\beta$ 是两个不同的平面,对空间任意一点 $P$,$Q_1=f_{\beta}\big(f_{\alpha}(P)\big)$,$Q_2=f_{\alpha}\big(f_{\beta}(P)\big)$,恒有 $PQ_1=PQ_2$,则(       )

A.平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 垂直

B.平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 所成的(锐)二面角为 $45^\circ$

C.平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 平行

D.平面 $\alpha$ 与平面 $\beta$ 所成的(锐)二面角为 $60^\circ$

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每日一题[2135]够不着

对前 $n$ 个正整数用 $k$ 种颜色染色,使得无法从中选出三个不同色的正整数构成等差数列,设 $k$ 的最大值为 $f(n)$,求证:\[{\log_3}n\leqslant f(n)\leqslant {\log_2}n+1.\]

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每日一题[2134]仔细分类

随机投掷三颗骰子,则下列说法正确的是(       )

A.有两颗骰子之和为 $7$ 的概率是 $\dfrac7{12}$

B.有两颗骰子之和为 $8$ 的概率是 $\dfrac{19}{54}$

C.所有骰子中最小值为 $2$ 的概率是 $\dfrac{65}{216}$

D.所有骰子中最小值为 $3$ 的概率是 $\dfrac{41}{216}$

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每日一题[2133]截面形状

已知一圆锥曲面顶点 $S$,其母线与轴所成的角为 $30^\circ$,在轴线上取一点 $C$,使得 $SC=5$,通过点 $C$ 作一与轴线夹角为 $45^\circ$ 的截面,则截得的曲线方程可表示为(       )

A.$x^2+2y^2=25$

B.$x^2+3y^2=50$

C.$2x^2+5y^2=50$

D.$2x^2+6y^2=75$

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每日一题[2132]恰到好处

已知 $x,y,z$ 是非负实数,且 $x+y+z=2$,则 $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+xyz$ 的最大值为(       )

A.$1$

B.$2$

C.$\dfrac 54$

D.以上答案都不对

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每日一题[2131]暗藏玄机

设实数 $a,b,c$ 满足 $a,b,c\geqslant 1$ 且 $ab\sqrt{c-1}+ac\sqrt{b-1}+bc\sqrt{a-1}=\dfrac 32abc$,则 $a,b,c$ 之间的大小关系是(       )

A.$a>b>c$

B.$a=b=c$

C.$a<b<c$

D.不能比较大小

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