Math173

2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #19

已知 $\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}=\{1,2,3,\cdots,n\}$ 其中 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$，一个 $n$ 元排列记为 $\left(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right)$．如果排列 $\left(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right)$ 满足任意 $k\in\{1,2,\cdots,n-1\}$，存在 $m\in\mathbb N$，且 $k<m\leqslant n$ 使得 $\left|a_k-a_m\right|=1$，称其为凝聚排列．

1、写出 $n=4$ 时的所有凝聚排列；

2、求证：凝聚排列 $\left(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right)$ 必有 $a_1=1$ 或 $n$；

3、求 $n$ 元凝聚排列的个数．

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2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #18

如图所示，斜三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中，$D$ 为 $AB$ 的中点，$D_1$ 为 $A_1 B_1$ 的中点，平面 $ABC\perp~\text{平面}~ABB_1 A_1$．

1、求证：直线 $A_1 C\parallel ~\text{平面}~BC_1 D_1$；

2、若三角形 $A_1 B_1 C_1$ 是等边三角形且边长为 $2$，侧棱 $AA_1=\dfrac{\sqrt 6}2$，且异面直线 $BC_1$ 与 $AB_1$ 互相垂直，求异面直线 $A_1 D$ 与 $BC_1$ 所成角正切值；

3、若 $AB=8$，$AC=BC=5$，$\cos\angle A_1 AB=\dfrac{\sqrt{13}}4$，若三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 有内切球，求三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 的体积．

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2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #17

如图所示，已知抛物线 $\Gamma: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$，直线 $l$ 过点 $P(-3,0)$．

1、若直线 $l$ 与抛物线 $\Gamma$ 相切于点 $Q$，求线段 $QF$ 的长度；

2、若直线 $l$ 与抛物线 $\Gamma$ 相交于 $A,B$ 两点，且 $\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PA}$，直线 $AF$ 与抛物线 $\Gamma$ 交于另一点 $C$，连接 $BC$，记 $BC$ 中点为 $M$，直线 $PM$ 交 $AC$ 于点 $G$，求 $\triangle CMG$ 的面积．

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2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #14

给定有限个正整数满足条件 $T$：每个数都不大于 $7$ 且总和 $S=430$，现将这些数按下列要求分成 $M$ 组，每组数之和不超过 $21$，规定第 $1$ 组先选择数字，使得选择的数字之和尽可能的大，记和为 $S_1$，第 $2$ 组数字在余下的数中选择，使得选择数字之和尽可能的大，记和为 $S_2$，如此继续下去 $\cdots\cdots$，设第 $i$ 组数字之和为 $S_i$，其中 $i\in\{1,2,\cdots,M\}$，对任意满足条件 $T$ 的有限个正整数，则 $M$ 的最大值为_____．

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2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #13

已知函数 $f(x)=x^3+a x^2+b$，$a,b\in\mathbb R$．若 $x\in[0,1]$ 时，函数 $f(x)$ 有最大值为 $1$，最小值为 $-1$，则满足条件的 $(a,b)=$ _____．

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