每日一题[993]构造与论证

设$a,d$是正整数,求证:等差数列$\{a+nd\}$($n\in\mathbb N$)中有无穷多项,它们有相同的质因数.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 , | 留下评论

每日一题[992]螺旋数学归纳法

求证:$\displaystyle \sum_{k=0}^{\left[\frac n2\right]}(-1)^k{\rm C}_{n-k}^k(2\cos x)^{n-2k}=\dfrac{\sin (n+1)x}{\sin x}$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 , | 留下评论

每日一题[991]左右不逢源

在$1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13$共$13$个数中挑出$k$个数,使得这$k$个数中任意两个的差都不是$5$和$8$,则$k$的最大值是_______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[990]根与系数

已知$a,b,c$为正整数,方程$ax^2+bx+c=0$的两个实根$x_1,x_2$满足$-1< x_1<x_2< 1$,求$a+b+c$的最小值.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[989]层层转化求最值

已知$a,b,c,d\geqslant 0$且$a+b+c+d=4$,求$m=\dfrac{a}{b^3+4}+\dfrac{b}{c^3+4}+\dfrac{c}{d^3+4}+\dfrac{d}{a^3+4}$的最大值与最小值.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[988]数列与数列极限

已知$n$是正整数,数列$\{a_k\}$满足$a_1=\dfrac{1}{n(n+1)}$,且\[a_{k+1}=-\dfrac{1}{k+n+1}+\dfrac nk\sum_{i=1}^ka_i,\]其中$k=1,2,\cdots$.

(1) 求$a_2,a_3$;
(2) 求数列$\{a_k\}$的通项;
(3) 设$b_n=\displaystyle \sum_{k=1}^n\sqrt{a_k}$,求证:$\lim\limits_{n\to \infty}b_n=\ln 2$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 一条评论

每日一题[987]数列上下界估计

已知$a_0=\dfrac 12$,$a_k=a_{k-1}+\dfrac 1na_{k-1}^2$($k=1,2,\cdots,n$),求证:$1-\dfrac 1n<a_n<1$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 一条评论

每日一题[986]组合数求和

设$S=\dfrac{1}{2017}{\rm C}_{2017}^0-\dfrac{1}{2016}{\rm C}_{2016}^1+\dfrac{1}{2015}{\rm C}_{2015}^2-\cdots-\dfrac{1}{1010}{\rm C}_{1010}^{1007}+\dfrac{1}{1009}{\rm C}_{1009}^{1008}$,则$S$的值是_______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[985]方程的根与函数零点

函数$f(x)=a\sin x+b\cos x$,其中$a,b\in\mathbb N$且$a>2$,且满足$$\left\{x\mid f(x)=0\right\}=\left\{ x\mid f(f(x))=0\right\},$$则方程$\left(\dfrac{f([x])}3\right)^2+\left(\dfrac{f(\{x\})}3\right)^2-1=0$在$x\in (0,30)$上的实数解个数为________.(其中$[x]$和$\{x\}$分别表示$x$的整数部分和小数部分.) 继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[984]正弦函数的性质

已知$n\in\mathbb N^*$,$f(n)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\sin k^\circ$,$g(n)=\displaystyle\prod_{k=1}^{n}\sin k^\circ$.求所有使得$f(n)=g(n)$的正整数$n$构成的集合.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论