已知 $\lg a+ \lg b+\lg c=0$，证明：$1<\dfrac{a}{a+1}+\dfrac{b}{b+1}+\dfrac{c}{c+1}<2$．
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每日一题[1663]物以类聚
将 $2,3,4,6,8,9,12,15$ 共 $8$ 个数排成一行，使得任意相邻两个数的最大公约数均大于 $1$，则所有可能的排法数为[[nn]]
A．$720$
B．$1014$
C．$576$
D．$1296$
每日一题[1662]构造图形
若函数 $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2-6y+9}+\sqrt{x^2+y^2+2\sqrt 3x+3}+\sqrt{x^2+y^2-2\sqrt 3x+3}$，则 $f(x,y)$ 的最小值是（ ）
A．$3+2\sqrt 3$
B．$2\sqrt 3+2$
C．$6$
D．$8$
每日一题[1661]分解
已知复数 $z$ 满足 $|z|=1$，则 $\left|z^3+3z+2\rm i\right|$ 的最大值为（ ）
A．$4\sqrt 2$
B．$3\sqrt 3$
C．$2\sqrt 5$
D．$4\sqrt 3$
每日一题[1660]由外及内
如图，$\triangle ABC$ 为锐角三角形，外接圆圆心为 $O$，半径为 $R$，$AO$ 的延长线交 $\triangle BOC$ 的外接圆于点 $A'$，$BO$ 的延长线交 $\triangle AOC$ 的外接圆于点 $B'$，$CO$ 的延长线交 $\triangle AOB$ 的外接圆于点 $C'$，求证：$OA' \cdot OB' \cdot OC' \geqslant 8R^3$．
每日一题[1658]转圈圈
设 $A$ 是一个含有 $n$ 个元素的集合，$A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}$ 是 $A$ 的互不相同的 $n$ 个子集．证明：在 $A$ 中存在一个元素 $a$，使得 $A_{1}-\{a\},A_{2}-\{a\},\cdots,A_{n}-\{a\}$ 仍是互不相同的集合，其中 $A_{i}-\{a\}=\{x\in A_{i}\mid x\ne a\}$．
每日一题[1657]面积坐标公式
过原点且斜率为正值的直线交椭圆 $\dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 于 $E,F$ 两点，设 $A(2,0),B(0,1)$．求四边形 $AEBF$ 面积的最大值．
每日一题[1656]密不透风
集合 $A$ 是由 $\{1,2,3,\cdots,50\}$ 中的 $40$ 个元素组成的子集，$S$ 为集合 $A$ 中的所有元素之和，则 $S$ 的取值个数为_______．