每日一题[1888]分段讨论

已知函数 $f(x)=|x^2-4x|$,若关于 $x$ 的方程 $f(x)=m|x+1|-2$ 恰有 $4$ 个互异的实根,则实数 $m$ 的取值范围是_______.

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每日一题[1897]零点判断

已知函数 $f(x)$ 为反比例函数,曲线 $g(x)=f(x)\cdot \cos x+b$ 在 $x=\dfrac{\pi}2$ 处的切线方程为 $y=-\dfrac{6}{\pi}x+2$.

1、求 $g(x)$ 的解析式.

2、判断函数 $F(x)=g(x)+1-\dfrac{3}{2\pi}$ 在区间 $(0,2\pi]$ 内的零点的个数,并证明.

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每日一题[1896]分解与同余

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_{n+1}=8a_n-7$,且 $\{a_n\}$ 中有且只有一个素数,写出 $a_1$ 的两个可能取值.

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每日一题[1895]离散问题

已知函数 $f(x)=\ln x+(1-a)x+a$($a>0$),若不等式 $f(x)>0$ 有且只有两个整数解,则实数 $a$ 的取值范围是(       )

A.$\left(0,\dfrac{3+\ln 3}2\right)$

B.$(0,2+\ln 2)$

C.$\left[\dfrac{3+\ln 3}2,2+\ln 2\right)$

D.$\left[\dfrac{2\ln 2+4}3,\dfrac{3+\ln 3}2\right)$

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每日一题[1894]联立计算

设过点 $P(-2,0)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $E:\dfrac{x^2}2+y^2=1$ 交于不同的两点 $A,B$,$F$ 为椭圆的右焦点,且直线 $AF,BF$ 分别交椭圆于不同于 $A,B$ 的点 $C,D$,且 $\lambda =\dfrac{AF}{FC}$,$\mu=\dfrac{BF}{FD}$,求 $\lambda+\mu$ 的取值范围.

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每日一题[1893]阿波罗尼斯圆

已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2=4$,则 $3\sqrt{5-2x}+\sqrt{13-6y}$ 的最小值为_______.

答案    $2\sqrt{10}$.

解析    题中代数式即\[3\sqrt{(x-1)^2+y^2}+\sqrt{x^2+(y-3)^2}=3PA+PB,\]其中 $A(1,0)$,$B(0,3)$.将 $x^2+y^2=4$ 看成阿波罗尼斯圆 $O$,其半径为 $r$,因此存在 $OA$ 延长线上的点 $A'$,和 $OB$ 线段上的点 $B'$,使得\[\begin{cases} \dfrac{OA'}{r}=\dfrac{r}{OA}=\lambda_A,\\ \dfrac{OB}{r}=\dfrac{r}{OB'}=\lambda_B,\end{cases}\iff \begin{cases} \lambda_A=2\land OA'=2,\\ \lambda_B=\dfrac 32\land OB'=\dfrac 43,\end{cases}\]因此 $3PA=\dfrac 32PA'$ 且 $PB=\dfrac 32PB'$,从而\[3PA+PB=\dfrac 32(PA'+PB')\geqslant \dfrac 32A'B'=\dfrac 32\sqrt{2^2+\left(\dfrac 43\right)^2}=2\sqrt{10},\]等号当 $P$ 为线段 $A'B'$ 与圆的公共点时取得.

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每日一题[1892]对称换元

设 $a>b>0$,$n\in\mathbb N^{\ast}$,$A_n=\dfrac{1}{n+1}\left(a^n+a^{n-1}b+a^{n-2}b^2+\cdots+ab^{n-1}+b^n\right)$,$B_n=\left(\dfrac{a+b}2\right)^n$.

1、求证:$A_2>B_2$.

2、比较 $A_n,B_n$ 的大小,并证明.

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每日一题[1891]伸缩变换

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的两个顶点 $A(a,0)$,$B(0,b)$,过 $A,B$ 分别作 $AB$ 的垂线交椭圆 $T$ 于 $D,C$(不同于顶点),若 $BC=3AD$,则椭圆的离心率是_______.

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每日一题[1890]阿波罗尼斯圆

在平面直角坐标系 $xOy$ 中,已知圆 $O:x^2+y^2=r^2$($r>0$)与直线 $l:x+y-5=0$.若对圆 $O$ 上任意一点 $P$,在直线 $l$ 上均存在两点 $E,F$,使得 $PE=\sqrt 2PF$,且 $EF=8$,则 $r$ 的取值范围是_______.

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每日一题[1889]匹克公式

三边长均为正整数,且最大边长为 $11$ 的三角形的个数为(       )

A.$25$

B.$26$

C.$36$

D.$37$

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