每日一题[2437]连环套

设正整数 $m, n$ 均不大于 $2021$,且 $\dfrac{m}{n+1}<\sqrt{2}<\dfrac{m+1}{n}$,则这样的数组 $(m, n)$ 个数为(       )

A.$2021$

B.$1428$

C.$3449$

D.以上答案都不对

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每日一题[2436]完全平方数

设正整数 $n \leqslant 2021$,且 $n^{5}-5 n^{3}+4 n+7$ 是完全平方数,则可能的 $n$ 的个数为(       )

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.以上答案都不对

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每日一题[2435]分类计数

设 $a_{n}$ 是与 $\sqrt{\dfrac{n}{2}}$ 的差的绝对值最小的整数,$b_{n}$ 是与 $\sqrt{2 n}$ 的差的绝对值最小的整数.记 $\left\{\dfrac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$,$\left\{\dfrac{1}{b_{n}}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$,则 $2 T_{100}-S_{100}$ 的值为(       )

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.以上答案都不对

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每日一题[2434]不定方程

如果一个十位数 $F$ 的各位数字之和为 $81$,则称 $F$ 是一个“好数”,则好数的个数为(       )

A.$48618$

B.$48619$

C.$48620$

D.以上答案都不对

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每日一题[2433]轮换式

已知 $a,b,c$ 是三个不全相等的实数且满足 $a=a b+c$,$b=b c+a$,$c=c a+b$,则 $a+b+c=$ (       )

A.$0$

B.$1$

C.$2$

D.$3$

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每日一题[2432]兵分两路

设 $y_{n}=1 \underbrace{22 \cdots 2}_{n\text{ 个 }2}1$,若 $10^{9}-1 \mid y_{n}$,则 $n$ 的最小值为(       )

A.$71$

B.$72$

C.$80$

D.$81$

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每日一题[2431]数与形

已知实数 $x_{0} \in[0,1)$.数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足对任意的 $n\in\mathbb N^{\ast}$,有\[x_n=\begin{cases} 2x_{n-1},&x_{n-1}<\dfrac 12,\\ 2x_{n-1}-1,&x_{n-1}\geqslant\dfrac 12.\end{cases}\]现知 $x_{0}=x_{2021}$,则可能的 $x_{0}$ 的个数为(       )

A.$2021$

B.$2^{2021}-1$

C.$2^{2021}$

D.以上答案都不对

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每日一题[2430]递推与递归

若平面上有 $100$ 条二次曲线,则这些曲线可以把平面分成若干个连通区域,则连通区域数量最大值为(       )

A.$19902$

B.$20001$

C.$20101$

D.以上答案都不对

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每日一题[2429]差之毫厘

已知 $S=\displaystyle\sum_{i=0}^{2021}\left[\frac{2^{i}}{7}\right]$,则 $S$ 的个位数字是(       )

A.$4$

B.$5$

C.$7$

D.以上答案都不对

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每日一题[2428]分而治之

若实数 $a, b, c, d$ 满足 $a b+b c+c d+d a=1$,则 $a^{2}+2 b^{2}+3 c^{2}+4 d^{2}$ 的最小值为(       )

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.以上答案都不对

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