每日一题[1117]割线斜率

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-{\rm e}^{-x}-ax$($a>0$).如果 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$,记过点 $A(x_1,f(x_1))$ 和 $B(x_2,f(x_2))$ 的直线斜率为 $k$,若 $k>-\dfrac{2}{\rm e}$,求实数 $a$ 的取值范围.

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每日一题[1116]各显神通

$E,F$ 是等腰直角 $\triangle ABC$ 斜边 $AB$ 上的三等分点,则 $\tan \angle ECF = $ (     )
A.$\dfrac{16}{27}$
B.$\dfrac{2}{3}$
C.$\dfrac{\sqrt 3 }{3}$
D.$\dfrac{3}{4}$

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每日一题[1115]有章可循

已知函数 $f(x)=\begin{cases} -\dfrac 12x,&x>0,\\ -{\rm e}^{-x},&x\leqslant 0,\end{cases}$ 若关于 $x$ 的方程 $f(f(x))=m$ 恰有两个实数解$x_1,x_2$,则 $4x_1+x_2$ 的最小值为_______.

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每日一题[1114]此零点彼零点

设函数 $f(x)={\rm e}^{ax}+\lambda \ln x$,其中 $a<0$,$0<\lambda<\dfrac{1}{\rm e}$.
(1)求证:函数 $f(x)$ 有两个极值点;
(2)若 $-{\rm e}\leqslant a<0$,求证:函数 $f(x)$ 有唯一零点.

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每日一题[1112]导数处理零点问题

已知函数 $f(x)=a\ln x+\dfrac{x^2}{2}-(a+1)x$,$a\in\mathbb R$.
(1)当 $a=-1$ 时,求函数 $f(x)$ 的最小值;
(2)当 $a\leqslant1$ 时,讨论函数 $f(x)$ 的零点个数.

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每日一题[1111]三角形形状探索

设$\triangle ABC$的周长为$12$,内切圆的半径为$1$,则(        )

A.$\triangle ABC$必为直角三角形
B.$\triangle ABC$必为锐角三角形
C.$\triangle ABC$必为直角三角形或锐角三角形
D.以上结论都不对

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每日一题[1110]函数“一锅鲜”

已知 $g(x)=x^2-2ax+1$ 在区间 $[1,3]$ 上的值域为 $[0,4]$.
(1)求 $a$ 的值;
(2)若不等式 $g\left(2^x\right)-k\cdot 4^x\geqslant 0$ 在 $x\in [1,+\infty)$ 上恒成立,求实数 $k$ 的取值范围;
(3)若函数 $$y=\dfrac{g\left(|2^x-1|\right)}{|2^x-1|}+k\cdot \dfrac{2}{|2^x-1|}-3k$$ 有 $3$ 个零点,求实数 $k$ 的取值范围.

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每日一题[1109]k阶比增函数

已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$,若 $y=\dfrac{f(x)}{x^k}$ 在 $(0,+\infty)$ 上为增函数,其中 $k$ 为正整数,则称 $f(x)$ 为 $k$ 阶比增函数.
(1)已知函数 $f(x)=x^3-2hx^2-hx$,若 $f(x)$ 是 $1$ 阶比增函数,但不是 $2$ 阶比增函数,求实数 $h$ 的取值范围;
(2)已知实数 $m$ 满足对 任意 $2$ 阶比增函数 $f(x)$,均有 $f(x)<m$,求 $m$ 的最小值.

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每日一题[1108]分析通项

已知函数 $f(x)=\ln (1+x)-x$.
(1)求 $f(x)$ 的单调区间;
(2)记 $f(x)$ 在区间 $[0,n]$($n\in\mathbb N^{\ast}$)上的最小值为 $b_n$,令 $a_n=\ln(1+n)-b_n$.若对任意正整数 $n$,不等式 $\sqrt{a_n}<\sqrt{a_{n+2}}-\dfrac c{\sqrt{a_{n+2}}}$ 恒成立,求实数 $c$ 的取值范围;
(3)在第 $(2)$ 小题的条件下,求证:$$ \dfrac{a_1}{a_2}+\dfrac{a_1a_3}{a_2a_4}+\cdots+\dfrac{a_1a_3\cdots a_{2n-1}}{a_2a_4\cdots a_{2n}}<\sqrt{2a_n+1}-1.$$

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每日一题[1107]三角形的内角关系

在 $\triangle ABC$ 中,三个内角满足关系式 $y=2+\cos C\cdot \cos (A-B)-\cos^2C$.
(1)若任意交换两个角的位置,$y$ 的值是否会发生变化,并证明你的结论;
(2)求 $y$ 的最大值.

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