每日一题[1604]迭代估计

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_0=\dfrac 12$,$a_n=a_{n-1}+\dfrac {1}{n^2}a_{n-1}^2$.

1、求证:$\dfrac {1}{a_{n-1}}-\dfrac {1}{a_{n}}<\dfrac {1}{n^2}$.

2、求证:$a_n<n$($n \in \mathbb N^{\ast}$).

3、求证:$\dfrac {1}{a_{n}}\leqslant \dfrac {5}{6}+\dfrac {1}{n+1}$($n \in \mathbb N^{\ast}$).

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每日一题[1603]四次方程的韦达定理

设一圆和一等轴双曲线交于 $A_1,A_2,A_3,A_4$ 四点,其中 $A_1$ 和 $A_2$ 是圆的直径的一对端点.

1、求证:线段 $A_3A_4$ 的中点是双曲线的中心.

2、求双曲线在点 $A_3$ 和 $A_4$ 处的切线和直线 $A_1A_2$ 的夹角的大小.

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每日一题[1602]分式函数

设 $-\dfrac {\pi}{2}\leqslant x \leqslant \dfrac {\pi}{2}$,且方程 $\cos 2x -4a \cos x -a+2=0$ 有两个不同的解,求 $a$ 的取值范围.

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每日一题[1601]一数三制

已知由 $3$ 的幂或者若干个不同的 $3$ 的幂之和组成的递增数列:$1,3,4,9,10,12,13,\cdots$,则此数列的第 $100$ 项是_______.

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每日一题[1600]构造映射

称所有元素的平方和为奇数的非空有限数集为平凡集,若集合 $A=\{1,2,3,\cdots,2016,2017\}$,则 $A$ 的所有真子集中平凡集的个数为(允许用数的幂次表示)_______.

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每日一题[1599]凹凸有致

已知 $a>0$,$f(x)={\ln}(2x+1)+2ax-4a{\mathrm e}^x+4$.

1、当 $a=1$ 时,求 $f(x)$ 的最大值.

2、判断函数 $f(x)$ 零点的个数,并说明理由.

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每日一题[1598]以终为始

若关于 $x$ 的方程 $x^2+ax+b-3=0$($a,b \in \mathbb R$)在区间 $[1,2]$ 上有实根,则 $a^2+(b-4)^2$ 的最小值为_______.

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每日一题[1597]双曲线的焦点三角形

已知 $P$ 为双曲线 $C: \dfrac {x^2}{4}-\dfrac {y^2}{12}=1$ 上一点,$F_1,F_2$ 为双曲线的左、右焦点,$M,I$ 分别为 $\triangle PF_1F_2$ 的重心、内心,若 $MI \perp x$ 轴,则 $\triangle PF_1F_2$ 内切圆的半径为_______.

答案    $\sqrt 6$.

解析    如图,设 $I$ 在 $\triangle PF_1F_2$ 三边上的投影分别为 $D,E,F$.

根据题意,有\[DF_1-DF_2=F_1F-F_2E=(PF_1-PF)-(PF_2-PE)=PF_1-PF_2=4,\]于是 $D$ 在双曲线 $C$ 上,为其右顶点.进而由 $MI\perp x$ 轴可得,$M$ 点的横坐标为 $2$,进而 $P(6,4\sqrt 6)$.根据双曲线的焦半径公式 $I$,有 $\triangle PF_1F_2$ 的内切圆的半径\[r=\dfrac{F_1F_2\cdot y_0}{PF_1+F_1F_2+F_2P}=\dfrac{2cy_0}{2ex_0+2c}=\sqrt 6,\]其中 $e$ 为双曲线的离心率,$x_0,y_0$ 为 $P$ 点横、纵坐标,$c$ 为双曲线半焦距.

 

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每日一题[1596]齐次联立

已知椭圆 $C:\dfrac {x^2}{a^2}+\dfrac {y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)过点 $P(-2,1)$,且离心率为 $\dfrac {\sqrt 2}{2}$.过点 $P$ 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于 $A,B$ 两点($A,B$ 与点 $P$ 不重合).求证:直线 $AB$ 过定点,并求该定点的坐标.

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每日一题[1595]构造函数

设 $a,b,c$ 是非负实数,满足 $a+b+c =8$,$ab+bc+ca=16$.设 $m=\min \{ab,bc,ca\}$,则 $m$ 的最大值为_______.

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