每日一题[1181]椭圆的内准圆

已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{y^2}{4}=1$,过点 $P(0,3)$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $A,B$ 两点,以线段 $AB$ 为直径作圆,试问该圆能否经过原点?若能,求出以 $AB$ 为直径的圆过原点时直线 $l$ 的方程;若不能,请说明理由.

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每日一题[1180]第二计划

已知椭圆 $C$ 的中心在原点,焦点在 $x$ 轴上,点 $F$ 是椭圆 $C$ 的右焦点,直线 $l:x=4$ 是椭圆 $C$ 的右准线,$F$ 到直线 $l$ 的距离等于 $3$.

1、求椭圆 $C$ 的方程;

2、点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的动点,$PM\perp l$,垂足为 $M$,是否存在点 $P$,使得 $\triangle FPM$ 为等腰三角形?若存在,求出 $P$ 的坐标;若不存在请说明理由.

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每日一题[1179]整数有多少?

记 $f(n)$ 是最接近 $\sqrt n$ 的整数,若\[\dfrac1{f(1)}+\dfrac 1{f(2)}+\cdots+\dfrac{1}{f(m)}=4034 ,\]则正整数 $ m$ 的值是_______.

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每日一题[1178]减少变数

已知正实数 $a,b,c$ 满足 $abc(a+b+c)=1$,则 $(a+b)(b+c)(a+c)$ 的最小值为_______.

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每日一题[1177]化齐次

实数 $x,y$ 满足 $2^{2x+y}+2^{x+2y}=4^x+4^y$,则 $\dfrac1{4^x}+\dfrac1{4^y}$ 的最大值是_______.

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每日一题1001题序

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每日一题[1176]避重就轻

设 $a,b$ 是正实数,且 $ab=1$,求证:$\left(a+2b+\dfrac2{a+1}\right)\left(b+2a+\dfrac2{b+1}\right)\geqslant 16$.

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每日一题[1175]双重最值

若 $a,b,c$ 均为正实数,且记 $m=\mathrm{min}\left\{\dfrac1a,\dfrac1{b^2},\dfrac1{c^3},a+b^2+c^3\right\}$,则 $m$ 的最大值为_______.

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每日一题[1174]均值代换

设实数 $x,y>0$ 且满足 $x+y=k$,则使得不等式 $\left(x+\dfrac1x\right)\left(y+\dfrac1y\right)\geqslant\left(\dfrac k2+\dfrac2k\right)^2$ 恒成立的 $k$ 的最大值为_______

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每日一题[1173]级数不等式

已知数列 $\{a_n\}$ 中 $a_1=\dfrac 23$,$a_2=\dfrac89$.当 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N^\ast$ 时,有 $3a_{n+1}=4a_n-a_{n-1}$.

1、证明:$\{a_{n+1}-a_{n}\}$ 为等比数列;

2、求数列 $\{a_n\}$ 的通项;

3、若对任意 $n\in \mathbb N^\ast$ 有 $\lambda a_1a_2\dots a_n\geqslant 1$ 均成立,其中 $\lambda\in\mathbb N^\ast$,求 $\lambda$ 的最小值.

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