每日一题[788]四棱锥染色

用$6$种不同的颜色对正四棱锥$P-ABCD$的$8$条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,不同的染色方案共有________ .

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练习题集[92]基础练习

1.已知点$P$是椭圆$\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}{8}=1$上的一个动点,$F_1,F_2,O$分别为椭圆的左焦点、右焦点和中心,过$F_1$作$\angle F_1PF_2$的角平分线的垂线,垂足为$M$,则$OM$的取值范围是_______.

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每日一题[787]按需构造

已知$f(x)=\ln x-x^2+x$.
(1) 求函数$f(x)$的单调区间;
(2) 证明:当$a\geqslant 2$时,关于$x$的不等式$f(x)<\left(\dfrac a2-1\right)x^2+ax-1$恒成立;
(3) 若正实数$x_1,x_2$满足$$f(x_1)+f(x_2)+2\left(x_1^2+x_2^2\right)+x_1x_2=0,$$证明:$x_1+x_2>\dfrac{\sqrt 5-1}2$.

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每日一题[786]角的范围估计

在锐角$\triangle ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,若$\dfrac{b^2}{ac}\geqslant \dfrac{\cos^2B}{\cos A\cdot\cos C}$,则$B$的取值范围是____.

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每日一题[785]求和放缩

设$a_n=n(n+1)\cdot 2^n$,$n\in\mathbb N^*$.
(1) 求证:$\dfrac{3}{a_1}+\dfrac{4}{a_2}+\cdots +\dfrac{n+2}{a_n}<1$;
(2) 求证:$\dfrac{4}{a_1}+\dfrac{5}{a_2}+\cdots +\dfrac{n+3}{a_n}<\dfrac 43$.

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每日一题[784]参数方程

已知$A,B$为双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($b>a>0$)上的两点,且以线段$AB$为直径的圆通过坐标原点$O$,则$\triangle AOB$面积的最小值为________.

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每日一题[783]微妙的平衡

已知$x\in \left(0,\dfrac{\pi}2\right)$.
(1) 求证:$\sin x+\tan x>2x$;
(2) 求证:$2\sin x+\tan x>3x$.

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每日一题[782]直线与双曲线

已知直线$y=\dfrac{2\sqrt 5}5x$与双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)交于$A,B$两点,若在双曲线上存在点$P$,使得$|PA|=|PB|=\dfrac{\sqrt 3}2|AB|$,则双曲线的离心率$e$为______.

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每日一题[781]图象间的距离

设函数$f(x)=x^2$($0\leqslant x\leqslant 1$),记$H(a,b)$为函数$f(x)$的图象上的点到直线$y=ax+b$的距离的最大值,则$H(a,b)$的最小值是________.

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练习题集[91]拓展练习

1.已知$P$是双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$上一点,过$P$作$C$的两条渐近线的垂线,垂足分别为$A,B$,则$\overrightarrow {PA}\cdot \overrightarrow {PB}=$_______.

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