已知函数 $f(x)=|x\ln x|+ax$，$a\in\mathbb R$．
1、若 $f'\left({\rm e}^{-\frac 12}\right)=\dfrac 12f(1)$，求 $a$ 的值；
2、定义在 $\left({\rm e}^{-1},+\infty\right)$ 上的函数 $g(x)=f(x)-ax-m$ 有两个不同的零点 $x_1,x_2$，求实数 $m$ 的取值范围，并证明 $x_1+x_2+m<2{\rm e}^{-\frac 12}+1$．
已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$，则 ${\rm C}_ {4n+1}^1+{\rm C}_ {4n+1}^5+{\rm C}_ {4n+1}^9+\cdots+{\rm C}_ {4n+1}^{4n+1}=$ _______．
已知函数 $f(x)=x\ln x-ax^2+a$（$a>0$）．
1、当 $x>1$ 时，$f(x)<0$，求实数 $a$ 的取值范围；
2、已知 $n\in\mathbb N$ 且 $n\geqslant 2$，证明：$\dfrac{\ln 2}{3\cdot 5}+\dfrac{\ln3}{5\cdot 7}+\cdots+\dfrac{\ln n}{(2n-1)\cdot (2n+1)}<\dfrac 14$．
已知 $a,b>0$，且 $a+b\geqslant 3$，则 $m=2a^2+b^2+\dfrac{28}{a}+\dfrac 1b$ 的最小值是_______．
已知对任意 $x\in [-1,1]$，均有 $k\ln\sqrt{x^2+1}+\cos x-1\leqslant 0$，求实数 $k$ 的取值范围．
已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac {y^2}3=1$，$A,B$ 是椭圆上两点，且 $A$ 在第一象限，$O$ 为坐标原点，$\triangle OAB$ 的面积记为 $S$．
1、若点 $A$ 的坐标为 $\left(1,\dfrac 32\right)$，求 $S$ 的最大值；
2、设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，且 $3y_1+y_2=0$，求当 $S$ 取得最大值时，直线 $AB$ 的方程．
已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$，$a_{n+1}={\rm e}^{a_n-1}$．
1、证明：$a_{n+1}>a_n$；
2、设 $b_n=1-a_n$，是否存在实数 $M>0$，使得 $b_1+b_2+\cdots+b_n\leqslant M$ 对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 成立？若存在，求出 $M$ 的一个值；若不存在，请说明理由．
过椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）外一点 $P$ 作椭圆的两条切线 $PA,PB$，切点分别为 $A,B$．过 $P$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $M,N$，过 $M$ 作 $PB$ 的平行线与直线 $AB,NB$ 分别交于 $S,T$，求证：$SM=ST$．
已知直线 $l:kx-y-k+1=0$，$f(x)=\begin{cases} x^3-3x^2+2x+1,&x\leqslant 2,\\ ax-2a+1,&x>2.\end{cases}$ 直线 $l$ 与 $f(x)$ 的图象的三个交点的横坐标分别为 $x_1,x_2,x_3$．若对于任意的 $0<k<3$，总有 $x_1+x_2+x_3<3$，则实数 $a$ 的取值范围是_______．
已知 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$ 是函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 与 $g(x)=\dfrac{k}{x^2}$ 图象的两个不同的交点，则 $f(x_1+x_2)$ 的取值范围是（ ）
A．$\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},+\infty\right)$
B．$\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},\dfrac{1}{\rm e}\right)$
C．$\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$
D．$\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},0\right)$
