2026年3月山东济南市一模数学试卷#18
已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的实轴长为 $4$，且经过点 $P\left(3,\dfrac 5 2\right)$．
1、求 $C$ 的方程；
2、记 $C$ 的右顶点为 $A$，点 $R$ 在线段 $AP$（不含端点）上运动，垂直于 $x$ 轴的直线 $RM$ 交 $C$ 于点 $M\left(x_1,y_1\right)(M$ 在第一象限），点 $S$ 满足 $\overrightarrow{MR}=\overrightarrow{RS}$，设直线 $AS$ 与 $C$ 的另一个交点为 $N\left(x_2,y_2\right)$．
① 用 $x_1,y_1$ 表示直线 $AS$ 的斜率 $k_0$；
② 证明：直线 $MN$ 过定点．
2026年3月山东济南市一模数学试卷#14
已知正方体 $ABCD-A_1 B_1 C_1 D_1$ 的棱长为 $2$，点 $A_1,B_1,C_1,D_1$ 均在某圆锥的侧面上，点 $A,B,C,D$ 均在该圆锥的底面上，则该圆锥的体积的最小值为 _____．
2026年3月山东济南市一模数学试卷#11
现进行如下试验：从 $1,2,3,\cdots,10$ 中任选一个数，记为 $a_1$，若 $a_1=1$，则试验结束；否则再从 $1,2,\cdots,a_1-1$ 中任选一个数，记为 $a_2$，若 $a_2=1$，则试验结束；否则再从 $1,2,\cdots,a_2-1$ 中任选一个数，依次类推，直至选中 $1$ 为止．记事件 $A_i$ 为试验过程中数字 $i$ 被选到，$p_i$ 表示事件 $A_i$ 发生的概率（$i=1,2,3,\cdots,10$），则（ ）
A．$p_9=\dfrac 1{10}$
B．$p_8=\dfrac 1{10}+\dfrac 1 9 p_{10}+\dfrac 1 8 p_9$
C．$P\left(A_8\mid A_9\right)=P\left(A_8\mid A_{10}\right)$
D．$P\left(A_i A_j\right)=p_i\cdot p_j$（$i,j\in\{1,2,\cdots,10\}$ 且 $i\neq j$）
2026年3月山东济南市一模数学试卷#8
若存在 $a>0$，对任意的 $x\in(0,+\infty)$，都有 $x\ln x+2 a\geqslant a x+b$，则 $b$ 的最大值为（ ）
A．$-\dfrac 1{\mathrm e}$
B．$\dfrac{\mathrm e}2$
C．$2\ln 2$
D．$1+\ln 2$
2026年3月江苏苏北七市二模数学试卷#19
已知有穷等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的项数为 $N$（$N\geqslant 3$），$a_1>0$，公比 $q\in(0,1)$．将 $\left\{a_n\right\}$ 的所有项按照某种顺序排成一列，得到数列 $\left\{b_n\right\}$，使得 $1\leqslant i<j\leqslant N$ 时，$a_i b_i\geqslant a_j b_j$．
1、若 $N=3$，写出所有满足条件的 $\left\{b_n\right\}$；
2、是否存在 $\left\{b_n\right\}$，使得对任意 $3\leqslant k\leqslant N$，$b_{k-1}^2\neq b_{k-2}b_k$ 都成立，并说明理由；
3、从满足条件的所有数列 $\left\{b_n\right\}$ 中随机抽取一个，求抽到的 $\left\{b_n\right\}$ 为等比数列的概率．
2026年3月江苏苏北七市二模数学试卷#18
一个椭圆沿着垂直于其所在平面的方向上平行移动形成的空间图形叫作椭圆柱，平移起止位置的两个面叫作椭圆柱的底面．如图，在椭圆柱 $OO^{\prime}$ 中，椭圆 $O$ 的长轴长为 $4$，短轴长为 $2$，$OO^{\prime}=2$．$A,B$ 是椭圆 $O$ 上关于 $O$ 对称的两点，$C,D$ 是椭圆 $O^{\prime}$ 上关于 $O^{\prime}$ 对称的两点，且 $AB\perp CD$．
1、证明：$CD\perp~\text{平面}~AO^{\prime}B$；
2、若 $AB=CD$，求直线 $AC$ 与底面所成角的正弦值；
3、求四面体 $ABCD$ 的内切球半径的最小值．
2026年3月江苏苏北七市二模数学试卷#14
已知双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右焦点为 $F$，$A$ 是 $C$ 右支上一点，$A$ 关于原点和 $x$ 轴对称的点分别为 $D,E$，$EF\parallel AD$，$\angle AFE=120^{\circ}$，则 $C$ 的离心率为 _____．
2026年3月江苏苏北七市二模数学试卷#11
已知函数 $f(x)=\begin{cases}\dfrac 1 n,&\dfrac 1{n+1}<x\leqslant\dfrac 1 n,n\in\mathbb N^{\ast},\\n,& n\leqslant x<n+1,n\in\mathbb N^{\ast},\end{cases}$ 则下列说法正确的是（ ）
A．若 $a,b$ 为正数，$a b=1$，则 $f(a) f(b)=1$
B．若 $a,b$ 为正数，$f(a) f(b)=1$，则 $a b=1$
C．若 $\alpha\in(1,+\infty)$，则函数 $g(x)=f(x)-x^{\alpha}$ 有唯一零点
D．若 $\alpha\in(0,1)$，则函数 $g(x)=f(x)-x^{\alpha}$ 的零点个数为奇数
2026年3月江苏南京盐城市一模数学试卷 #19
已知圆 $C:(x-1)^2+y^2=1$，点 $P_1(1,1)$，对于圆 $C$ 上的点 $P_n\left(a_n,b_n\right)$（$n\in \mathbb N^{\ast}$），按照如下方式构造点 $P_{n+1}$：过点 $P_n$ 作直线 $l_n$ 垂直于 $y$ 轴，垂足为 $M_n$，点 $Q_n$ 满足 ${\overrightarrow{M_n Q_n}}=\lambda\overrightarrow{M_nP_n}$（$\lambda$ 为常数，$\lambda\geqslant\sqrt 5$），直线 $OQ_n$ 交 $C$ 于点 $P_{n+1}$，其中 $O$ 为坐标原点，点 $P_{n+1}$ 异于点 $O$．
1、若 $\lambda=3$，求 $P_2$ 的坐标；
2、证明：数列 $\left\{\dfrac 1{a_n}-\dfrac 1 2\right\}$ 为等比数列；
3、已知 $P(2,0)$，设 $\triangle OP_1 P_{n+1}$ 及 $\triangle PP_1 P_{n+1}$ 的面积分别为 $S_n,T_n$，若存在正整数 $m,n$（$m<n$），使得 $n^2 T_n\left(S_m-T_m\right)=m^2 T_m\left(S_n-T_n\right)$，求 $\lambda$ 所有可能的值．
2026年3月江苏南京盐城市一模数学试卷 #18
已知抛物线 $C: y^2=2 p x$（$p>0$）的焦点为 $F$，$C$ 上的点 $P(4,t)$（$t>0$）到 $F$ 的距离为 $5$．
1、求 $p$ 和 $t$ 的值；
2、$A,B$ 为 $C$ 上两点，$\triangle PAB$ 的重心在直线 $y=-\dfrac 4 3$ 上．
① 证明：直线 $AB$ 的斜率为定值；
② 设直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$，线段 $AB$ 的中点为 $T$，线段 $PQ$ 的中点为 $R$，过点 $P$ 向直线 $TR$ 作垂线，垂足为 $H$．证明：点 $H$ 在定圆上运动．
