已知抛物线 $E: x^2=2 p y$（$p>0$）的焦点为 $F$，$P(m,n)$（$m\neq 0$）是 $E$ 上的动点，过 $P$ 点作 $E$ 的切线 $l$，直线 $l$ 与椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）交于 $A, B$ 两个不同的点，记 $AB$ 的中点为 $D$．设直线 $OD$（$O$ 为原点）与直线 $y=-\dfrac{p b^2}{a^2}$ 交于点 $Q$．
1、证明：直线 $y=-\dfrac{p b^2}{a^2}$ 与直线 $PQ$ 垂直；
2、若 $l$ 与 $FQ$ 交于点 $G$，且 $a=2 b$，$\triangle FPG$ 与 $\triangle PGQ$ 的面积之比 $\lambda$，证明：$1<\lambda<2$．
在一次数学活动中，一位同学设计了有序实数组 $A=\left(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right)$，$a_i\in\{0,1\}$，$i=1,2,3,\cdots,n$，$f(A)$ 表示把 $A$ 中每个 $ 1$ 替换为两个连续元素 $0,0$，每个 $0$ 替换为一个元素 $ 1$，按原顺序拼接得到新的有序实数组，例如 $A=\{0,1\}$，则 $f(A)=\{1,0,0\}$．定义 $A_{k+1}=f\left(A_k\right)$，$k\in\mathbb N^{\ast}$ 若 $A_1=\{0,1\}$，则 $A_1,A_2,A_3,\cdots,A_{100}$ 中 $1 $ 的总个数为_____．
古希腊数学家采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，随着圆锥的轴与平面所成角 $\beta$ 的变化，截得的曲线的形状也不同，若圆锥轴截面的顶角为 $2\alpha$，则曲线的离心率为 $e=\dfrac{\cos\beta}{\cos\alpha}$．设圆锥 $SO$ 的底面半径为 $4$，母线长为 $12$，$\triangle SAB$ 是圆锥的一个轴截面，$D$ 为 $SA$ 中点，过 $B,D$ 两点且与轴截面垂直的平面与圆锥的截面曲线是一个椭圆 $\Gamma$，则（ ）
A．椭圆 $\Gamma$ 的长轴长为 $2\sqrt{17}$
B．椭圆 $\Gamma$ 的离心率为 $\dfrac{3\sqrt{17}}{17}$
C．$SO$ 与 $BD$ 的交点是椭圆 $\Gamma$ 的一个焦点
D．内接于椭圆的矩形面积最大值为 $4\sqrt{34}$
一个袋子中装有大小形状相同的 $2 $ 个红色球，$2 $ 个黄色球，$2 $ 个白色球，$1$ 个黑球，从中一次性摸出 $ 3$ 个球，记：摸出一个红色球记 $0$ 分，摸出一个黄色球记 $1$ 分，摸出一个白色球记 $2$ 分，摸出黑色球记 $-3$ 分，三个球总得分为 $X$，则（ ）
A．当 $X=2$ 时，一定没有摸到黄球
B．$P(X=1)=\dfrac 2{35}$
C．$P(X\leqslant 0)\geqslant\dfrac 1 2$
D．$E(X)=\dfrac 9 7$
数列 $\left\{a_n\right\}$ 和 $\left\{b_n\right\}$ 均为项数为 $k$ 的有限正项数列，$A_n, B_n$ 为其前 $n$ 项和．对给定正实数 $t$，定义 $M_t=\left\{(i, j) \mid a_i+b_j\geqslant t\right\}$．记 $\operatorname{card}(A)$ 表示集合 $A$ 中的元素个数．
1、若 $a_n=2 n-1$，$ b_n=2^n$，$k=5$，求 $\complement_{M_{20}} M_{25}$；
2、若对 $t \in\{0,1,2, \cdots, k\}$，均有 $\operatorname{card}\left(M_{2^t}\right)=k^2-t^2$，求证：$A_k+B_k>\left(2-\dfrac{3}{k}\right) \cdot 2^k$；
3、若对任意的 $t>0$，有 $\operatorname{card}\left(M_t\right)<\dfrac{1}{t}$，求证：$A_k \cdot B_k<\dfrac{1}{2}$．
参考公式（${\rm Abel}$ 求和交换）：\[\sum_{i=1}^n a_i b_i=\sum_{i=2}^n\left(\sum_{r=i}^n a_r\right)\left(b_i-b_{i-1}\right)+A_n b_1.\]
已知函数 $f(x)=(x+a)\ln x-\dfrac{ax^2}2-x$．
1、若 $a=0$，求 $f(x)$ 在零点处的切线方程；
2、讨论 $f'(x)$ 的单调性；
3、若 $f(x)$ 有三个极值点 $x_1,x_2,x_3$，求证：$x_1+x_2+x_3>\dfrac 1a+2a$．
定义在 $[0,1]$ 上的单调函数 $f(x)$ 满足：$\forall a, b \in[0,1], f(a)+f(b)=f(a) \cdot f(b)+f(a+b-a b)$，且 $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{4}$，则（ ）
A．$f(0)=0$
B．记 $g(x)=1-f(1-x)$，则 $g(x)$ 为幂函数
C．$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{2026} f\left(\frac{n}{n+1}\right)<2025$
D．$\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{2025} f\left(\frac{1}{n+1}\right)<2 \ln 2026$
克莱因提出几何学就是研究在特定变换下不变性质的学科，该观点披后世称为爱尔兰根纲领．如在初中阶段我们研究了旋转、翻折、平移等保持变换前后长度不变、角度不变的变换，称这些变换为保长变换和保角变换．设平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 是空间中两个相异平面，$P$ 是平面外一点．定义平面 $\alpha$ 到平面 $\beta$ 关于点 $P$ 的单点透视变换 $f$：$\forall A \in \alpha$，若直线 $P A$ 交平面 $\beta$ 于点 $A^{\prime}$，则 $f(A)=A^{\prime}$，称 $A^{\prime}$ 为 $A$ 在平面 $\beta$ 内的像：若 $P A \cap \beta=\varnothing$，则 $f(A)=\infty$，称 $A$ 为平面 $a$ 内的影消点，则下述命题中正确的有（ ）
A．$f$ 是保角变换，但不是保长变换
B．平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 相交是平面 $\alpha$ 内存在影消点的充要条件
C．若平面 $\alpha$ 内存在影消点，则影消点的轨迹是一条直线
D．平面 $\alpha$ 内的椭圆在单点透视变换 $f$ 下的偍仍是椭圆
已知 $P(5, \sqrt{10})$ 为抛物线 $y^2=2 p x$（$p>0$）上一点，过点 $P$ 作圆 $Q:(x-a)^2+y^2=1$ 的两条切线分别交抛物线于 $C, D$，设切点为 $A, B$．若 $A B\parallel C D$，则 $a$ 的所有可能取值的和为（ ）
A．$2$
B．$\dfrac{10}{3}$
C．$4$
D．$\dfrac{11}{2}$
