Math173

已知中心在原点 $O$，焦点在 $x$ 轴上，离心率为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$ 的椭圆过点 $\left(\sqrt2,\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$．设不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该椭圆交于 $P,Q$ 两点，且直线 $OP,PQ,OQ$ 的斜率依次成等比数列，求 $\triangle OPQ$ 面积的取值范围．

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如图 $1$，已知矩形 $ABCD$ 满足 $AB=5$，$AC=\sqrt{34}$，沿平行于 $AD$ 的线段 $EF$ 向上翻折（点 $E$ 在线段 $AB$ 上运动，点 $F$ 在线段 $CD$ 上运动），得到如图 $2$ 所示的三棱柱 $ABE-DCF$．

1、若图 $2$ 中 $\triangle ABG$ 是直角三角形，这里 $G$ 是线段 $EF$ 上的点，试求线段 $EG$ 的长度 $x$ 的取值范围．

2、若第 $(1)$ 小题中 $EG$ 的长度为取值范围内的最大整数，且线段 $AB$ 的长度取得最小值，求二面角 $C-EF-D$ 的值．

3、在第 $(1)$ 小题与第 $(2)$ 小题的条件都满足的情况下，求三棱锥 $A-BFG$ 的体积．

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已知正整数 $n$ 都可以唯一表示为\[n=a_0+a_1\cdot 9+a_2\cdot 9^2+\cdots +a_m\cdot 9^m\]的形式，其中 $m$ 为非负整数，$a_j\in\{0,1,\cdots,8\}$（$j=0,1,\cdots,m-1$），$ a_m\in\{1,\cdots,8\} $．试求使得上述等式中的数列 $ a_0,a_1,a_2,\cdots,a_m $ 严格单调递增或严格单调递减的所有正整数 $ n$（包含对应的数列只有一项的情形）的和．

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设 $a=\sqrt 2$，$b={\rm e}^{\frac 1{\pi}}$，$c={\log_2}3$，则[[nn]]

A．$b<a<c$

B．$a<b<c$

C．$b<c<a$

D．$a<c<b$

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已知圆 $x^2+y^2=8$ 围成的封闭区域内（含边界）的整点（坐标均为整数的点）数是椭圆 $\dfrac {x^2} {a^2}+\dfrac {y^2} 4=1$ 围成的封闭区域内（含边界）整点数的 $\dfrac 1 5$，则正实数 $a$ 的取值范围是______．

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已知关于 $x$ 的实系数方程 $x^2-2x+2=0$ 和 $x^2+2mx+1=0$ 的四个不同的根，在复平面上对应的点共圆，则 $m$ 的取值范围是_______．

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在正 $2018$ 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色．求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数．

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按要求作答：

1、求证：对于任意实数 $x,y,z$ 都有 $x^2+2y^2+3z^2\geqslant\sqrt{3}\left(xy+yz+zx\right)$．

2、是否存在实数 $k>\sqrt{3}$，使得对于任意实数 $x,y,z$ 下式恒成立？\[x^2+2y^2+3z^2\geqslant k\left(xy+yz+zx\right)\]试证明你的结论．

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把 $1,2,\cdots,n^2$ 按照顺时针螺旋方式排成 $n$ 行 $n$ 列的表格 $T_n$，第一行是 $1,2,\cdots,n,$ 例如\[T_3=\begin{bmatrix}1&2&3\\8&9&4\\7&6&5\end{bmatrix}.\]设 $2018$ 在 $T_{100}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列，则 $\left(i,j\right)=$_______．

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设 $H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心，且 $3\overrightarrow{HA}+4\overrightarrow{HB}+5\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$，则 $\cos\angle AHB =$ _______．

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