每日一题[1545]化齐次联立

已知中心在原点 $O$,焦点在 $x$ 轴上,离心率为 $\dfrac{\sqrt3}{2}$ 的椭圆过点 $\left(\sqrt2,\dfrac{\sqrt2}{2}\right)$.设不过原点 $O$ 的直线 $l$ 与该椭圆交于 $P,Q$ 两点,且直线 $OP,PQ,OQ$ 的斜率依次成等比数列,求 $\triangle OPQ$ 面积的取值范围.

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每日一题[1544]三射线定理

如图 $1$,已知矩形 $ABCD$ 满足 $AB=5$,$AC=\sqrt{34}$,沿平行于 $AD$ 的线段 $EF$ 向上翻折(点 $E$ 在线段 $AB$ 上运动,点 $F$ 在线段 $CD$ 上运动),得到如图 $2$ 所示的三棱柱 $ABE-DCF$.

1、若图 $2$ 中 $\triangle ABG$ 是直角三角形,这里 $G$ 是线段 $EF$ 上的点,试求线段 $EG$ 的长度 $x$ 的取值范围.

2、若第 $(1)$ 小题中 $EG$ 的长度为取值范围内的最大整数,且线段 $AB$ 的长度取得最小值,求二面角 $C-EF-D$ 的值.

3、在第 $(1)$ 小题与第 $(2)$ 小题的条件都满足的情况下,求三棱锥 $A-BFG$ 的体积.

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每日一题[1543]映射计数

已知正整数 $n$ 都可以唯一表示为\[n=a_0+a_1\cdot 9+a_2\cdot 9^2+\cdots +a_m\cdot 9^m\]的形式,其中 $m$ 为非负整数,$a_j\in\{0,1,\cdots,8\}$($j=0,1,\cdots,m-1$),$ a_m\in\{1,\cdots,8\} $.试求使得上述等式中的数列 $ a_0,a_1,a_2,\cdots,a_m $ 严格单调递增或严格单调递减的所有正整数 $ n$(包含对应的数列只有一项的情形)的和.

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每日一题[1542]数值估计

设 $a=\sqrt 2$,$b={\rm e}^{\frac 1{\pi}}$,$c={\log_2}3$,则[[nn]]

A.$b<a<c$

B.$a<b<c$

C.$b<c<a$

D.$a<c<b$

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每日一题[1541]分类汇编

已知圆 $x^2+y^2=8$ 围成的封闭区域内(含边界)的整点(坐标均为整数的点)数是椭圆 $\dfrac {x^2} {a^2}+\dfrac {y^2} 4=1$ 围成的封闭区域内(含边界)整点数的 $\dfrac 1 5$,则正实数 $a$ 的取值范围是______.

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每日一题[1540]成双入对

已知关于 $x$ 的实系数方程 $x^2-2x+2=0$ 和 $x^2+2mx+1=0$ 的四个不同的根,在复平面上对应的点共圆,则 $m$ 的取值范围是_______.

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每日一题[1539]远交近伐

在正 $2018$ 边形的每两个顶点之间均连一条线段,并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.

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每日一题[1538]配方

按要求作答:

1、求证:对于任意实数 $x,y,z$ 都有 $x^2+2y^2+3z^2\geqslant\sqrt{3}\left(xy+yz+zx\right)$.

2、是否存在实数 $k>\sqrt{3}$,使得对于任意实数 $x,y,z$ 下式恒成立?\[x^2+2y^2+3z^2\geqslant k\left(xy+yz+zx\right)\]试证明你的结论.

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每日一题[1537]周而复始

把 $1,2,\cdots,n^2$ 按照顺时针螺旋方式排成 $n$ 行 $n$ 列的表格 $T_n$,第一行是 $1,2,\cdots,n,$ 例如\[T_3=\begin{bmatrix}1&2&3\\8&9&4\\7&6&5\end{bmatrix}.\]设 $2018$ 在 $T_{100}$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列,则 $\left(i,j\right)=$_______.

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每日一题[1536]垂心的向量表达

设 $H$ 是 $\triangle ABC$ 的垂心,且 $3\overrightarrow{HA}+4\overrightarrow{HB}+5\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{0}$,则 $\cos\angle AHB =$ _______.

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