每日一题[1362]相约最值

已知实数 $a,b$ 满足 $\dfrac a2+2b=\ln a+\ln b+2$,则 $a-b=$ ______.

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每日一题[1361]曲折前行

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$,$a_2=6$,且当 $n\geqslant 3$ 时,有\[a_n=\begin{cases} a_{n-1}+\sin a_{n-1},&a_{n-1}\geqslant a_{n-2},\\ a_{n-1}+\cos a_{n-1},&a_{n-1}<a_{n-2},\end{cases}\]则下列结论正确的有(       )

A.数列 $\{a_n\}$ 有上确界为 $2\pi$

B.数列 $\{a_n\}$ 有上确界为 $3\pi$

C.数列 $\{a_n\}$ 有上确界为 $4\pi$

D.数列 $\{a_n\}$ 没有上确界

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每日一题[1360]染立方

从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六面体染色,每面洽染一种颜色,每两个具有公共棱的面染成不同颜色,则不同的染色方案有_______种.(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同.)

答案    $230$.

解析    按相对的面颜色相同的组数分类讨论.

情形一    $0$ 组.此时六个面是不同的颜色,将下面固定为某种颜色,则其对面有 $5$ 种染色方案,其余 $4$ 面有 $(4-1)!=6$ 种染色方案(注意圆排列),共 $30$ 种染色方案

情形二    $1$ 组.此时设上下两面为同色,有 $6$ 种染色方案,其余 $4$ 面有 ${\rm C}_5^4(4-1)!=30$ 种染色方案.考虑到上下可以对调,因此其余四面互逆的染色方案相同,因此共有 $90$ 种染色方案.

情形三    $2$ 组.让这 $2$ 组对面构成除上下面的 $4$ 个面,有 ${\rm C}_6^2=15$ 种染色方案.此时上下底面有 ${\rm C}_4^2=6$ 种染色方案,因此共有 $90$ 染色方案.

情形四    $3$ 组.此时有 ${\rm C}_6^3=20$ 种染色方案.

因此所有的染色方案数为\[30+90+90+20=230.\]

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每日一题[1359]格点组合

坐标平面上的整点(横、纵坐标均为整数的点)到直线 $y=\dfrac 53x+\dfrac 45$ 的距离的最小值为(       )

A.$\dfrac{\sqrt{34}}{170}$

B.$\dfrac{\sqrt{34}}{85}$

C.$\dfrac1{20}$

D.$\dfrac1{30}$

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每日一题[1358]空间曲线

如图,在矩形 $ABCD$ 中,$E$ 为边 $AD$ 上的动点,将 $\triangle ABE$ 沿直线 $BE$ 翻转成 $\triangle A_1BE$,使平面 $A_1BE\perp ABCD$,则点 $A_1$ 的轨迹是(       )

A.线段

B.圆弧

C.抛物线的一部分

D.以上答案都不对

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每日一题[1357]重组计划

使得函数 $y=\sqrt{(x-1)^2+(x-4)^2}+\sqrt{(x+3)^2+(x-2)^2}$ 取最小值的 $x$ 的值是_______.

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每日一题[1356]化椭为圆

椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的内接八边形的最大面积为_______.

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每日一题[1355]根系关系

已知函数 $f(x)=2ax^2+3b$($a,b\in\mathbb R$)满足对任意 $x\in [-1,1]$,都有 $|f(x)|\leqslant 1$ 成立,则 $ab$ 的最大值是______.

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每日一题[1354]不在中边路

已知 $x,y\geqslant 0$,且 $x+y=4$,则 $m=(x^2+1)(y^2+1)$ 的最小值为_______.

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每日一题[1353]葫芦兄弟

已知 $a,b,c$ 为整数,$24\mid a^3+b^3+c^3$,求证:$120\mid a^5+b^5+c^5+4(a+b+c)$.

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