每日一题[727]函数遇到恒成立

已知函数$f(x)=x^2+2x+1$,若存在实数$t$,当$x\in [1,m]$时,$f(x+t)\leqslant x$恒成立,则实数$m$的最大值为________.

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每日一题[726]“约不约”随机

设$A,B,C,D$是空间四个不共面的点,以$\dfrac 12$的概率在每对点之间连一条边,任意两对点之间是否连边是相互独立的,则$A,B$可用空间折线(一条或若干条边组成的)连接的概率为_______.

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每日一题[725]运动的向量

平面内向量$\overrightarrow a$,$\overrightarrow b$,$\overrightarrow c$满足$\Big|\overrightarrow a\Big|=\Big|\overrightarrow b\Big|=2$,$\Big|\overrightarrow c\Big|=1$,$\left(\overrightarrow a-\overrightarrow c\right)\cdot \left(\overrightarrow b-\overrightarrow c\right)=0$,则$\Big|\overrightarrow a-\overrightarrow b\Big|$的取值范围是_________.

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练习题集[83]拓展练习

1、设非零向量$\overrightarrow a,\overrightarrow b$的夹角为$\theta$,若存在$m\in\mathcal R$,使得向量$2\overrightarrow a-m \overrightarrow b$与$\overrightarrow a-m\overrightarrow b$的夹角也为$\theta$,则$\cos\theta$的最小值是_______.

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每日一题[724]数列求和

已知正项数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac 32$,$a_{n+1}^2-a_n^2=\dfrac{1}{(n+2)^2}-\dfrac{1}{n^2}$,记数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$,则$\dfrac{1}{S_1}-\dfrac{1}{S_3}+\dfrac{1}{S_5}-\cdots -\dfrac{1}{S_{2007}}+\dfrac{1}{S_{2009}}$的值为______.

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每日一题[723]从图形角度看不等式

(2012年新课标I卷理科数学第21题)已知函数$f(x)$满足$f(x)=f'(1){\rm e}^{x-1}-f(0)x+\dfrac 12x^2$.
(1) 求$f(x)$的解析式及单调区间;
(2) 若$f(x)\geqslant \dfrac 12x^2+ax+b$,求$(a+1)b$的最大值.

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每日一题[722]抽象函数

已知$f(x)$是定义在$(-1,1)$上的函数,$f\left(\dfrac 12\right)=-1$,且对任意$x,y\in (-1,1)$,有$f(x)+f(y)=f\left(\dfrac{x+y}{1+xy}\right)$.
(1) 求证:$f(x)$是奇函数;
(2) 若数列$\{x_n\}$满足$x_1=\dfrac 12$,$x_{n+1}=\dfrac{2x_n}{1+x_n^2}$,求$f(x_n)$;
(3) 证明:$1+f\left(\dfrac 15\right)+f\left(\dfrac 1{11}\right)+\cdots +f\left(\dfrac{1}{n^2+3n+1}\right)+f\left(\dfrac{1}{n+2}\right)=0$.

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每日一题[721]直线与圆

过直线$l:x+y=2$上任意点$P$向圆$C:x^2+y^2=1$作两条切线,切点分别为$A,B$.线段$AB$的中点为$Q$,则点$Q$到直线$l$的距离的取值范围是________.

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每日一题[720]平面向量的数量积

如图,在平面四边形$ABCD$中,$AC=l_1$,$BD=l_2$,则$\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}\right)\cdot\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}\right)=$_______.

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每日一题[719]问题的转化

若存在实数$\varphi$,使圆面$x^2+y^2\leqslant 4$恰好覆盖函数$y=\sin\left(\dfrac{\pi}kx+\varphi\right)$的图象的最高或最低点共$3$个,则正实数$k$的取值范围是_______.

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