Math173

已知直线 $l:y=x+t$ 和圆 $C:x^2+(y-2)^2=8$，若存在定点 $M$，使得从 $l$ 上任意一点 $P$ 引圆 $C$ 的一条切线 $PQ$（$Q$ 为切点），均有 $|PQ|=|PM|$，则实数 $t$ 的取值范围是_______．

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若定义在 $D$ 上的函数 $f(x)$ 与不同于 $f(x)$ 的函数 $g(x)$ 在 $x=\xi$ 处满足满足\[\begin{split} f(\xi)&=g(\xi),\\ f'(\xi)&=g'(\xi),\\ &\cdots,\\ f^{(k)}(\xi)&=g^{(k)}(\xi),\end{split}\]则称 $g(x)$ 是函数 $f(x)$ 的 $k$ 阶近似函数，其中 $k\in \mathbb N^{\ast}$，$f^{(k)}(x)$ 表示函数 $f(x)$ 的 $k$ 阶导数．例如：函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处的切线为 $y=g(x)$，则 $g(x)$ 就是 $f(x)$ 的一个 $1$ 阶近似函数．

1、写出函数 $f(x)=x^3$ 在 $x=1$ 处的一个 $2$ 阶近似函数．

2、若函数 $f(x)=\ln x$，$g(x)=ax+\dfrac bx+c$，$a,b,c\in\mathbb R$，则 $g(x)$ 能否为 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的 $2$ 阶近似函数？

3、若函数 $f(x)=\ln (x+1)$，$g(x)=\dfrac{ax}{x+b}$，$a,b\in\mathbb R$，则 $g(x)$ 能否为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的 $2$ 阶近似函数？

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已知 $n\in\mathbb N$，求证：$\dfrac {n^5}5+\dfrac{n^3}3+\dfrac{7n}{15}$ 是整数．

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已知数列 $\{a_n\}$ 是 $12,1122,111222,\cdots,\underbrace{11\cdots 1}_n\underbrace{22\cdots 2}_n$，试问 $\{a_n\}$ 中的任何一项是不是均能表示为两个相邻正整数的乘积．

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已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=1$ 且 $a_{n}=a_{n-1}+a_{\left[\frac n2\right]}$（$n\geqslant 2$），求证：数列 $\{a_n\}$ 中有无穷多个 $7$ 的倍数．

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已知无穷正实数数列 $\{x_n\}$ 满足 $x_0=1$，$x_{i+1}<x_i$（$i=0,1,2,\cdots$）．

1、求证：对任意符合题意的数列 $\{x_n\}$，均存在 $n\in\mathbb N^{\ast}$，使得 $\dfrac{x_0^2}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}\geqslant 3.999$．

2、求证：存在符合题意的 $\{x_n\}$ 使得对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$，均有 $\dfrac{x_0^2}{x_1}+\dfrac{x_1^2}{x_2}+\cdots+\dfrac{x_{n-1}^2}{x_n}<4$．

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数列 $\{x_n\},\{y_n\}$ 的定义如下：$x_1=1$，$y_1=39$，且\[\begin{cases} x_{n+1}=23x_n+y_n+2,\\ y_{n+1}=551x_n+24y_n+64,\end{cases}\]求证：对一切正整数 $n$，$x_n$ 是完全平方数．

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数列 $\{a_n\}$ 的定义如下：$a_1=1$，且当 $n\geqslant 2$ 时，有 $a_n=\begin{cases} a_{\frac n2}+1,& 2\mid n,\\ \dfrac{1}{a_{n-1}},&2\nmid n,\end{cases}$ 已知 $a_m=\dfrac{30}{19}$，则正整数 $m$ 的值为_______．

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已知 $x,y>0$，则 $m=\dfrac{(xy+x+y)(x+y+1)}{(x+y)(x+1)(y+1)}$ 的取值范围为_______．

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