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每日一题[3764]凝聚与生长
2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #19
已知 $\left\{a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right\}=\{1,2,3,\cdots,n\}$ 其中 $n\geqslant 2$ 且 $n\in\mathbb N$,一个 $n$ 元排列记为 $\left(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right)$.如果排列 $\left(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right)$ 满足任意 $k\in\{1,2,\cdots,n-1\}$,存在 $m\in\mathbb N$,且 $k<m\leqslant n$ 使得 $\left|a_k-a_m\right|=1$,称其为凝聚排列.
1、写出 $n=4$ 时的所有凝聚排列;
2、求证:凝聚排列 $\left(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n\right)$ 必有 $a_1=1$ 或 $n$;
3、求 $n$ 元凝聚排列的个数.
每日一题[3763]空间接切
2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #18
如图所示,斜三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 中,$D$ 为 $AB$ 的中点,$D_1$ 为 $A_1 B_1$ 的中点,平面 $ABC\perp~\text{平面}~ABB_1 A_1$.
1、求证:直线 $A_1 C\parallel ~\text{平面}~BC_1 D_1$;
2、若三角形 $A_1 B_1 C_1$ 是等边三角形且边长为 $2$,侧棱 $AA_1=\dfrac{\sqrt 6}2$,且异面直线 $BC_1$ 与 $AB_1$ 互相垂直,求异面直线 $A_1 D$ 与 $BC_1$ 所成角正切值;
3、若 $AB=8$,$AC=BC=5$,$\cos\angle A_1 AB=\dfrac{\sqrt{13}}4$,若三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 有内切球,求三棱柱 $ABC-A_1 B_1 C_1$ 的体积.
每日一题[3762]面积坐标公式
2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #17
如图所示,已知抛物线 $\Gamma: y^2=4 x$ 的焦点为 $F$,直线 $l$ 过点 $P(-3,0)$.
1、若直线 $l$ 与抛物线 $\Gamma$ 相切于点 $Q$,求线段 $QF$ 的长度;
2、若直线 $l$ 与抛物线 $\Gamma$ 相交于 $A,B$ 两点,且 $\overrightarrow{PB}=2\overrightarrow{PA}$,直线 $AF$ 与抛物线 $\Gamma$ 交于另一点 $C$,连接 $BC$,记 $BC$ 中点为 $M$,直线 $PM$ 交 $AC$ 于点 $G$,求 $\triangle CMG$ 的面积.
每日一题[3761]集装箱
2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #14
给定有限个正整数满足条件 $T$:每个数都不大于 $7$ 且总和 $S=430$,现将这些数按下列要求分成 $M$ 组,每组数之和不超过 $21$,规定第 $1$ 组先选择数字,使得选择的数字之和尽可能的大,记和为 $S_1$,第 $2$ 组数字在余下的数中选择,使得选择数字之和尽可能的大,记和为 $S_2$,如此继续下去 $\cdots\cdots$,设第 $i$ 组数字之和为 $S_i$,其中 $i\in\{1,2,\cdots,M\}$,对任意满足条件 $T$ 的有限个正整数,则 $M$ 的最大值为_____.
每日一题[3760]极值点分布
2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #13
已知函数 $f(x)=x^3+a x^2+b$,$a,b\in\mathbb R$.若 $x\in[0,1]$ 时,函数 $f(x)$ 有最大值为 $1$,最小值为 $-1$,则满足条件的 $(a,b)=$ _____.