每日一题[938]集合的“相关数”

设集合\[A_{2n}=\{1,2,3,\cdots,2n\}\ \left(n\in \mathbb{N}^{*},n\geqslant 2\right).\]如果对于$A_{2n}$的每一个含有$m\ (m\geqslant 4)$个元素的子集$P$,$P$中必有$4$个元素的和等于$4n+1$,则称正整数$m$为集合$A_{2n}$的一个“相关数”.

(1) 当$n=3$时,判断$5$和$6$是否为集合$A_6$的“相关数”,说明理由;
(2) 若$m$为集合$A_{2n}$的“相关数”,证明:$m-n-3\geqslant 0$;
(3) 给定正整数$n$,求集合$A_{2n}$的“相关数”$m$的最小值.

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每日一题[937]函数的最值

已知函数$f(x)=\left(x^2+ax-a\right)\cdot{\rm e}^{1-x}$,其中$a\in\mathbb R$.
(1)求函数$f'(x)$的零点个数;
(2)证明:$a\geqslant 0$是函数$f(x)$存在最小值的充分不必要条件.

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每日一题[936]直线与抛物线

在平面直角坐标$xOy$中,抛物线$C$的顶点是原点,以$x$轴为对称轴,且经过点$P(1,2)$.
(1) 求抛物线$C$的方程;
(2) 设点$A,B$在抛物线$C$上,直线$PA,PB$分别与$y$轴交于点$M,N$,$|PM|=|PN|$,求直线$AB$的斜率.

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一道代数不等式的证明

已知$a,b,c\geqslant 0$,$ab+bc+ca=1$,求证:$\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\geqslant \dfrac 52$.

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每日一题[935]个个击破

已知$a^2+b^2+c^2=2$,求证:$a+b+c\leqslant 2+abc$.

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「意琦行推广」光子辅导---代表我目前最高水平的系统,出击!

        我搞数学教研到现在已经八年时间了.在这八年时间里我学习进步了很多,非常充实快乐同时也非常辛苦.早就打算把自己的心得体会系统的写出来,但诸事加身,断断续续也没写多少.

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每日一题[934]函数不等式的变形

函数$f(x)=x|x|$.若存在$x\in[1,+\infty)$,使得$f(x-2k)-k<0$,则$k$的取值范围是(  )
A.$\left(2,+\infty\right)$
B.$\left(1,+\infty\right)$
C.$\left(\dfrac{1}{2},+\infty\right)$
D.$\left(\dfrac{1}{4},+\infty\right)$

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每日一题[933]形式联想

已知实数$a_1,a_2,a_3,a_4$满足$a_1a_4-a_2a_3=1$,求$$M=a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_1a_3+a_2a_4$$的最小值.

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每日一题[932]存在性问题的证明

已知函数$f(x)={\rm e}^{ax}-x$.
(1) 若曲线$y=f(x)$在$(0,f(0))$处的切线$l$与直线$x+2y+3=0$垂直,求$a$的值;
(2) 当$a\ne 1$时,求证:存在实数$x_0$使$f(x_0)<1$.

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每日一题[931]轨迹问题

已知椭圆$G:\dfrac{x^2}{6}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($0<b<\sqrt{6}$)的两个焦点分别为$F_1$和$F_2$,短轴的两个端点分别为$B_1$和$B_2$,点$P$在椭圆$G$上,且满足$\left|PB_1\right|+\left|PB_2\right|=\left|PF_1\right|+\left|PF_2\right|$.当$b$变化时,给出下列三个命题:
(1) 点$P$的轨迹关于$y$轴对称;
(2) 存在$b$使得椭圆$G$上满足条件的点$P$仅有两个;
(3) $|OP|$的最小值为$2$,
其中,所有正确命题的序号是_______.

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