每日一题[1830]必要条件探路

已知函数 $f(x)={\rm e}^x-k({\rm e}-1)x$.

1、若函数 $f(x)$ 有两个零点,求实数 $k$ 的取值范围.

2、若 $f(x)-kx\ln x\geqslant 1$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立,求实数 $k$ 的取值范围.

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每日一题[1829]极化恒等式

在 $\triangle ABC$ 中,点 $E,F$ 分别是线段 $AB,AC$ 的中点,点 $P$ 在直线 $EF$ 上,若 $\triangle ABC$ 的面积为 $2$,则 $\overrightarrow{PC}\cdot \overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BC}^2$ 的最小值是(        )

A.$2$

B.$3$

C.$3\sqrt 2$

D.$2\sqrt 3$

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每日一题[1828]扰动区间

已知函数 $f(x)=x\ln x-2ax^2+3x-a$,$a\in\mathbb Z$.

1、当 $a=1$ 时,判断 $x=1$ 是否是函数 $f(x)$ 的极值点,并说明理由.

2、当 $x>0$ 时,不等式 $f(x)\leqslant 0$ 恒成立,求整数 $a$ 的最小值.

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每日一题[1827]分拆

设正整数 $a,b,cd$ 满足 $a>b>c>d$ 且 $ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)$,证明:$ab+cd$ 不是素数.

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每日一题[1826]端点分析

已知函数 $f(x)=2ax+{\rm e}^x$,$g(x)=ax^2-2ax-x{\rm e}^x$,$a\in \mathbb R$.

1、讨论函数 $f(x)$ 的单调区间.

2、若对任意实数 $x$,$f(x)+g(x)\leqslant 1$,求 $a$ 的取值范围.

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每日一题[1825]强分离

已知 $a$ 是实数,函数 $f(x)=x-a\ln x$.

1、若函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值,求实数 $a$ 的值.

2、若函数 $g(x)=-\dfrac{1+a}x$,存在 $x\in [1,{\rm e}]$,使得 $f(x)<g(x)$ 成立,求实数 $a$ 的取值范围.

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每日一题[1824]首尾呼应

求所有的正整数 $n$($n\geqslant 3$),存在 $n$ 个连续的正整数,其中最大的数是其余 $n-1$ 个数的最小公倍数的因数.

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每日一题[1823]离散的恒成立

设函数 $f(x)=x{\rm e}^x-ax+a$,若存在唯一的整数 $x_0$,使得 $f(x_0)<0$,则实数 $a$ 的取值范围是_______.

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每日一题[1822]公约数与公倍数

设 $m,n\in\mathbb N^{\ast}$,$m>n$,证明:$[m,n]+[m+1,n+1]>\dfrac{2mn}{\sqrt{m-n}}$.

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每日一题[1821]先选后排

在区间 $\left[100,999\right]$ 上,调换数位的排列顺序后可被 $11$ 整除(如 $121$ 和 $211$)的数的个数为_______.

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