每日一题[1994]轮换式计算之二

已知正实数 $x,y,z$ 满足 $xy+yz+zx\neq 1$,且\[\dfrac{(x^2-1)(y^2-1)}{xy}+\dfrac{(y^2-1)(z^2-1)}{yz}+\dfrac{(z^2-1)(x^2-1)}{zx}=4.\] 求 $\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}$ 的值.

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每日一题[1993]轮换式计算之一

已知 $a+b+c=5$,$a^2+b^2+c^2=15$,$a^3+b^3+c^3=47$.求\[M=(a^2+ab+b^2)(b^2+bc+c^2)(c^2+ca+a^2)\]的值.

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每日一题[1992]同余分析

已知 $a,b$ 为正整数,求 $M=3a^2-ab^2-2b-4$ 能取到的最小正整数值.

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每日一题[1991]枚举

将 $5$ 个 $1$,$5$ 个 $2$,$5$ 个 $3$,$5$ 个 $4$,$5$ 个 $5$ 共 $25$ 个数填入一个 $5$ 行 $5$ 列的表格内(每格填入一个数),使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 $2$.考虑每列中各数之和,设这 $5$ 个和的最小值为 $M$,则 $M$ 的最大值为 _______.

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每日一题[1990]拼拼看

在四边形 $ABCD$ 中,$BC\parallel AD$,$CA$ 平分 $\angle BCD$,$O$ 为对角线的交点,$CD=AO$,$BC=OD$,则 $\angle ABC=$ _______.

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每日一题[1989]镜

已知锐角三角形 $ABC$ 的外接圆为 $\omega$,垂心为 $H$,设 $\triangle HBC$ 的外接圆在 $H$ 处的切线交圆 $\omega$ 于点 $X,Y$,且 $HA=3$,$HX=2$,$HY=6$.若 $\triangle ABC$ 的面积的最简形式为 $m\sqrt n$($m,n$ 均为正整数,且 $n$ 不能被任何素数的平方整除),则 $m+n=$_______.

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每日一题[1988]分类讨论

设 $P(x)$ 是复系数二次多项式,且 $x^2$ 的系数为 $1$,设方程 $P(P(x))=0$ 有 $4$ 个不同的解 $x=3,4,a,b$,则所有 $(a+b)^2$ 的可能值之和为_______.

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每日一题[1987]转移比例

已知 $\triangle ABC$ 中 $\angle BAC$ 的平分线交 $BC$ 于 $D$,线段 $AD$ 的垂直平分线分别交 $\angle ABC$ 和 $\angle ACB$ 的平分线于 $E,F$ 两点.设 $AB=4$,$BC=5$,$CA=6$,则 $\triangle AEF$ 的面积的最简形式为 $\dfrac{m\sqrt n}p$(其中 $m,p$ 为互质正整数,$ n $ 不能被任何素数的平方整除),则 $ m+n+p=$ _______.

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每日一题[1986]LTE引理

已知 $n$ 是使得 $3^3\cdot 5^5\cdot 7^7\mid 149^n-2^n$ 的最小正整数,则 $n$ 的正整数因子的个数为_______.

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每日一题[1985]几何计算

已知锐角非等边 $\triangle ABC$ 的外接圆为 $\omega$, 过点 $B,C$ 作 $ \omega $ 的切线相交于点 $ T $, $ T $ 在 $ AB, AC $ 上的投影分别为 $ X, Y $. 若 $ BT=CT=16 $, $ BC=22 $, 且 $ TX^2+TY^2+XY^2=1143 $, 则 $ XY^2=$ _______.

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