每日一题[1239]两面夹击

已知函数 $f(x)=|x\ln x|+ax$,$a\in\mathbb R$.

1、若 $f'\left({\rm e}^{-\frac 12}\right)=\dfrac 12f(1)$,求 $a$ 的值;

2、定义在 $\left({\rm e}^{-1},+\infty\right)$ 上的函数 $g(x)=f(x)-ax-m$ 有两个不同的零点 $x_1,x_2$,求实数 $m$ 的取值范围,并证明 $x_1+x_2+m<2{\rm e}^{-\frac 12}+1$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 2条评论

每日一题[1238]对影成三人

已知 $n\in\mathbb N^{\ast}$,则 ${\rm C}_ {4n+1}^1+{\rm C}_ {4n+1}^5+{\rm C}_ {4n+1}^9+\cdots+{\rm C}_ {4n+1}^{4n+1}=$ _______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 一条评论

每日一题[1237]错位裂项

已知函数 $f(x)=x\ln x-ax^2+a$($a>0$).

1、当 $x>1$ 时,$f(x)<0$,求实数 $a$ 的取值范围;

2、已知 $n\in\mathbb N$ 且 $n\geqslant 2$,证明:$\dfrac{\ln 2}{3\cdot 5}+\dfrac{\ln3}{5\cdot 7}+\cdots+\dfrac{\ln n}{(2n-1)\cdot (2n+1)}<\dfrac 14$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1236]狐假虎威

已知 $a,b>0$,且 $a+b\geqslant 3$,则 $m=2a^2+b^2+\dfrac{28}{a}+\dfrac 1b$ 的最小值是_______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1235]分析端点

已知对任意 $x\in [-1,1]$,均有 $k\ln\sqrt{x^2+1}+\cos x-1\leqslant 0$,求实数 $k$ 的取值范围.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1234]化椭为圆

已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac {y^2}3=1$,$A,B$ 是椭圆上两点,且 $A$ 在第一象限,$O$ 为坐标原点,$\triangle OAB$ 的面积记为 $S$.

1、若点 $A$ 的坐标为 $\left(1,\dfrac 32\right)$,求 $S$ 的最大值;

2、设 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$,且 $3y_1+y_2=0$,求当 $S$ 取得最大值时,直线 $AB$ 的方程.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 一条评论

每日一题[1233]积少成多

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$,$a_{n+1}={\rm e}^{a_n-1}$.

1、证明:$a_{n+1}>a_n$;

2、设 $b_n=1-a_n$,是否存在实数 $M>0$,使得 $b_1+b_2+\cdots+b_n\leqslant M$ 对任意 $n\in\mathbb N^{\ast}$ 成立?若存在,求出 $M$ 的一个值;若不存在,请说明理由.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1232]调和分割

过椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)外一点 $P$ 作椭圆的两条切线 $PA,PB$,切点分别为 $A,B$.过 $P$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $M,N$,过 $M$ 作 $PB$ 的平行线与直线 $AB,NB$ 分别交于 $S,T$,求证:$SM=ST$.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1231]三次函数

已知直线 $l:kx-y-k+1=0$,$f(x)=\begin{cases} x^3-3x^2+2x+1,&x\leqslant 2,\\ ax-2a+1,&x>2.\end{cases}$ 直线 $l$ 与 $f(x)$ 的图象的三个交点的横坐标分别为 $x_1,x_2,x_3$.若对于任意的 $0<k<3$,总有 $x_1+x_2+x_3<3$,则实数 $a$ 的取值范围是_______.

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 留下评论

每日一题[1230]极值点偏移

已知 $A(x_1,y_1)$,$B(x_2,y_2)$ 是函数 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 与 $g(x)=\dfrac{k}{x^2}$ 图象的两个不同的交点,则 $f(x_1+x_2)$ 的取值范围是(       )

A.$\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},+\infty\right)$

B.$\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},\dfrac{1}{\rm e}\right)$

C.$\left(0,\dfrac{1}{\rm e}\right)$

D.$\left(\dfrac{\rm e}2\ln\dfrac{2}{\rm e},0\right)$

继续阅读

发表在 每日一题 | 标签为 | 2条评论