每日一题[2233]分离变量

已知函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}\dfrac{1}{x+1}-3,&x\in\left(-1,0\right], \\ x,&x\in\left(0,1\right], \end{cases}$ 且 $g\left(x\right)=f\left(x\right)-mx-m$ 在 $\left(-1,1\right]$ 内有且仅有两个不同的零点,则实数 $m$ 的取值范围是(       )

A.$\left(-\dfrac94,-2\right]\cup \left(0,\dfrac12\right]$

B.$\left(-\dfrac{11}{4},-2\right]\cup \left(0,\dfrac12\right]$

C.$\left(-\dfrac94,-2\right]\cup \left(0,\dfrac23\right]$

D.$\left(-\dfrac{11}{4},-2\right]\cup \left(0,\dfrac23\right]$

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每日一题[2232]换元见真相

已知函数 $f(x)=\ln (x+1)-ax-1$,其中 $a\leqslant -\dfrac 3{10}$.

1、证明:$f(x)$ 有唯一零点.

2、设 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的零点,证明: ① $\dfrac{1}{1-a}\leqslant x_0\leqslant 1-a$; ② $\dfrac{3-10a+8a^2-2a^3}{2(2-a)^2}\leqslant f(x_0+1)\leqslant \dfrac{a^2-3a+1}{2-a}$. 参考数据:$\ln 2\approx 0.693$,$\ln 3\approx 1.098$.

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每日一题[2231]韦达定理全家福

已知抛物线 $x^2=4y$,点 $A$ 在抛物线上,且在第一象限,以点 $A$ 为切点作抛物线的切线 $l$ 交 $x$ 轴于点 $B$,过点 $B$ 作垂直于 $l$ 的直线 $l'$ 交抛物线于 $C,D$ 两点,其中点 $C$ 在第一象限,设 $l'$ 与 $y$ 轴交于点 $K$.

1、若点 $A$ 的横坐标为 $2$,求切线 $l$ 的方程.

2、连接 $OC,OD,AK,AC$,记 $\triangle OKD,\triangle OKC,\triangle AKC$ 的面积为 $S_1,S_2,S_3$,求 $\dfrac{S_3}{S_2}\cdot \left(\dfrac{S_1}{S_2}-1\right)$ 的最小值.

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每日一题[2230]分析通项

已知 $\{a_n\}$ 是公差 $d$ 不等于 $0$ 的等差数列,且 $\{a_{k_n}\}$ 是等比数列,其中 $k_1=3$,$k_2=5$,$k_3=9$.

1、求 $k_1+k_2+\cdots+k_n$ 的值.

2、若 $b_n=\dfrac{a_{n+1}}{a_{n+2}}+\sqrt{\dfrac{a_n}{a_{n+2}}}$,$n\in\mathbb N^{\ast}$,证明:\[\dfrac{1}{1\cdot 2\sqrt{2b_1}}+\dfrac{1}{2\cdot 3\sqrt{2b_2}}+\cdots+\dfrac{1}{n\cdot (n+1)\sqrt{2b_n}}<\sqrt{\dfrac n{n+1}}.\]

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每日一题[2229]双重最值

已知函数 $f(x)=|x^2+a|+|x|$,当 $x\in [-1,1]$ 时,记函数 $f(x)$ 的最大值为 $M(a)$,则 $ M(a)$ 的最小值为_______.

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每日一题[2228]焦半径公式

已知双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a,b>0$)左右焦点分别为 $F_1,F_2$,过点 $F_1$ 作与一条渐近线垂直的直线 $l$,且 $l$ 与双曲线的左右两支分别交于 $M,N$ 两点,若 $|MN|=|NF_2|$,则该双曲线的渐近线方程为_______.

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每日一题[2227]合理构图

在 $\triangle ABC$ 中,$D$ 为边 $BC$ 的中点,$E$ 为边 $BC$ 上一点,且 $AE=AC=BE$,$DE=1$,若 $\cos C=\dfrac 13$,则 $\triangle ABC$ 的面积等于_______

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每日一题[2226]放缩与递推

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=\dfrac 12$,$a_{n+1}={\rm e}^{a_n-1}$($n\in\mathbb N^{\ast}$),其中 ${\rm e}=2.71828\cdots$,记 $T_n$ 表示数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项乘积,则(       )

A.$a_{100}<\dfrac 12$

B.$a_{100}>1$

C.$T_{99}\in\left(0,\dfrac{1}{100}\right)$

D.$T_{99}\in\left(\dfrac{1}{100},\dfrac{1}{10}\right)$

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每日一题[2225]化椭为圆

已知 $P,Q,M$ 是椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)上不同的三点,且原点 $O$ 是 $\triangle PQM$ 的重心,若点 $M\left(\dfrac{\sqrt 2}2a,\dfrac{\sqrt 2}2b\right)$,直线 $PQ$ 的斜率恒为 $-\dfrac 12$,则椭圆 $C$ 的离心率为(       )

A.$\dfrac{\sqrt 2}3$

B.$\dfrac{\sqrt 3}3$

C.$\dfrac{\sqrt 2}2$

D.$\dfrac{\sqrt 3}2$

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每日一题[2224]方差计算

已知随机变量 $X$ 的分布列如下表所示\[\begin{array}{c|c|c|c}\hline X&0&1&2\\ \hline P&a&b&c\\ \hline\end{array}\]若 $4a,b,c$ 成等比数列,则 $D(X)$ 的最大值为(       )

A.$\dfrac 16$

B.$\dfrac 13$

C.$\dfrac 12$

D.$1$

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