Math173

已知对于任意的 $x\in [-1,1]$，都有 $|ax^2+bx+c|\leqslant 1$，求证：对于任意的 $x\in [-1,1]$，都有 $|cx^2+bx+a|\leqslant 2$．

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如图，在单位四面体 $ABCD$ 中，$M,N,K$ 分别在棱 $AB,AD,BD$ 上，满足 $BM=DN=\dfrac 13$，$DK=\dfrac 14$，则面 $ACK$ 与面 $CMN$ 所夹锐角的余弦值为_______．

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已知 $100$ 个不大于 $100$ 的正整数 $a_i$，满足 $a_1+a_2+\cdots+a_{100}=200$，求证：可以从 $a_1,a_2,\cdots,a_{100}$ 中选出若干个数，它们的和为 $100$．

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任意 $m$ 个连续正整数中，必有一个数的各位数码之和是 $11$ 的倍数，则 $m$ 的最小值为_______．

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严格递增的正实数数列 $\{x_n\}$ 满足：$x\in\{x_n\}$ 当且仅当 $x+\{x\}^2$ 为整数（其中等式中的 $\{x\}$ 表示 $x$ 的小数部分），那么这个数列的前 $100$ 项之和是______．

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在坐标平面内，从原点出发以同一初速度 $v_0$ 和不同发射角（即发射方向与 $x$ 轴轴向之间的夹角）$\alpha$（$\alpha\in [0,\pi]$，$\alpha\ne \dfrac{\pi}2$）射出的质点，在重力的作用下运动轨迹是抛物线，所有这些抛物线组成一个抛物线族，若两条抛物线在同一个交点处的切线互相垂直，则称这个交点为正交点．证明：此抛物线族的所有正交点的集合是一段椭圆弧，并求此椭圆弧的方程．

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设复数 $z$，$\left|z+\dfrac 1z\right|=1$，则 $|z|$ 的取值范围为_______．

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设函数 $f(x)=\begin{cases}x,&x\geqslant a,\\ x^3-3x,&x<a.\end{cases}$

$(1)$ 若 $f(x)$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是_______；

$(2)$ 若 $a\leqslant -2$，则满足 $f(x)+f(x-1)>-3$ 的 $x$ 的取值范围是_______．

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已知 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ 是由正整数组成的无穷数列．对任意 $n\in\mathbb{N}^{\ast}$，$a_n$ 满足如下两个条件： ① $a_n$ 是 $n$ 的倍数； ② $|a_n-a_{n+1}|\leqslant 5$．

1、若 $a_1=30$，$a_2=32$，写出满足条件的所有 $a_3$ 的值．

2、求证：当 $n\geqslant 11$ 时，$a_n\leqslant 5n$．

3、求 $a_1$ 所有可能取值中的最大值．

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过椭圆 $W:\dfrac{x^2}{2}+y^2=1$ 的左焦点 $F_1$ 作直线 $l_1$ 交椭圆于 $A,B$ 两点，其中 $A(0,1)$．另一条过 $F_1$ 的直线 $l_2$ 交椭圆于 $C,D$ 两点（不与 $A,B$ 两点重合），且 $D$ 点不与点 $(0,-1)$ 重合．过 $F_1$ 作 $x$ 轴的垂线，分别交直线 $AD,BC$ 于 $E,G$．

1、求 $B$ 点坐标和直线 $l_1$ 的方程．

2、求证：$|EF_1|=|GF_1|$．

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