Math173

已知数列$\{a_n\}$满足$a_0=1$，$a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+a_n^2}$($n\in\mathbb N$)．
(1)求证：对任意正整数$n$，均有$a_{n+1}<a_n$；
(2)求证：对任意正整数$n$，均有$a_n<\dfrac 3{4\sqrt n}$；
(3)求证：$a_0+a_1+\cdots+a_n\geqslant \sqrt{2n+4}-1$．

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已知$f(x)=ax-m$($m\in\mathbb N^*$)，$g(x)=\ln\dfrac xa$，若对任意$x\in\mathbb N^*$均有$f(x)\cdot g(x)\geqslant 0$，求实数$a$的取值范围．

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在$\triangle ABC$中，$AB=c$，$DC=kAD$，$\angle DBA=\alpha$，$\angle DBC=\beta$，则$BC=$_______．
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已知函数$f(x)={\rm e}^{ax}-1+\ln(x+1)$．
(1) 若函数$f(x)$在区间$(-1,+\infty)$内单调递增，求$a$的取值范围；
(2) 若$0<a\leqslant 1$，且$x>0$，求证：$f(x)>2ax$．

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平面直角坐标系中$xOy$中，$P$是不在$x$轴上的一个动点，过$P$作抛物线$y^2=4x$的两条切线，切点设为$A,B$，且直线$PO\perp AB$于$Q$，$R$为直线$AB$与$x$轴的交点．
(1) 求证：$R$是定点；
(2) 求$\dfrac{PQ}{QR}$的最小值．

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已知$a,b>0$，且$a+\dfrac 2a+3b+\dfrac 4b=10$，则$ab$的取值范围是________．

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已知$a,b>0$且$a+2b=1$，求$a^2+b^2+\dfrac{9}{125ab}$的最小值．
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已知三条平行直线$a,b,c$($b$在$a,c$之间)，点$A$在直线$a$上，求作正$\triangle ABC$，使顶点$B$在直线$b$上，顶点$C$在直线$c$上．

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已知椭圆$E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$($a>b>0$)的内接$\triangle ABC$的边$AB,AC$分别过其左、右焦点$F_1(-c,0),F_2(c,0)$，椭圆$E$的左、右顶点分别为$D,E$，直线$DB$和$EC$交于点$P$，当点$A$在椭圆$E$上运动时，点$P$的轨迹方程是__________．

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若$a\sin^2\theta+b\cos^2\theta=c$且$\dfrac{a}{\sin^2\theta}+\dfrac{b}{\cos^2\theta}=c$，则$\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}$的值为______．
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