已知 $f(x)=x\ln x$，方程 $f(x)=m$ 有两个实数解 $x_1,x_2$，求证：$\sqrt{x_1x_2}\cdot \dfrac{x_1+x_2}2<\dfrac{1}{{\rm e}^2}$．
已知函数 $f(x)=\ln (1+x)-\dfrac{ax}{1-x}$，其中 $a$ 是实数．
（1）当 $a=1$ 时，求函数 $f(x)$ 的单调区间；
（2）若 $-1<x<1$ 时，均有 $f(x)\leqslant 0$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．
若存在正实数 $m$，使得关于 $x$ 的方程 $x+2a(x+m-2{\rm e}x)\left[\ln(x+m)-\ln x\right]=0$ 有两个实数解，则实数 $a$ 的取值范围是（ ）
A．$(-\infty,0)$
B．$\left(0,\dfrac{1}{2{\rm e}}\right)$
C．$(-\infty,0)\cup\left(\dfrac{1}{2{\rm e}},+\infty\right)$
D．$\left(\dfrac{1}{2{\rm e}},+\infty\right)$
已知数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=1$，$|a_{n+1}-a_n|=p^n$，$n\in\mathbb N^{\ast}$，$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．
（1）若 $\{a_n\}$ 是递增数列，且 $a_1,2a_2,3a_3$ 成等差数列，求 $p$ 的值．
（2）若 $p=\dfrac 12$，且 $\{a_{2n-1}\}$ 是递增数列，$\{a_{2n}\}$ 是递减数列，求 $\{a_n\}$ 的通项公式．
（3）若 $p=1$，对于给定的正整数 $n$，是否存在一个满足条件的数列 $\{a_n\}$，使得 $S_n=n$？如果存在，给出一个满足条件的数列；如果不存在，请说明理由．
函数 $f(x)=ax^2-2016x+2017$（$a>0$）在区间 $[t-1,t+1]$ 上函数 $f(x)$ 的最大值为 $M(t)$，最小值为 $m(t)$，函数 $h(t)=M(t)-m(t)$ 的最小值为 $1$，则 $a$ 的值是（ ）
A．$1$
B．$2$
C．$3$
D．以上答案都不对
已知正数 $x,y$ 满足 $2xy=\dfrac{2x-y}{2x+3y}$，那么 $y$ 的最大值是_______．
已知函数 $f(x)={\log_a}x$，直线 $y=\dfrac{1}{\rm e}x$ 与函数 $f(x)$ 的图象相切．函数 $g(x)$ 为函数 $f(x)$ 的反函数．
（1）当 $x>0$ 时，若 $\dfrac{f(x)}{x}\leqslant k\leqslant \dfrac{g(x)}{x}$ 恒成立，求 $k$ 的最大值 $K_0$；
（2）对于 $(1)$ 中的 $K_0$，求证：$\dfrac{f(x)}{g(x)}<K_0^{-\frac{13}6}$．
若对任意 $x\in D$，总有 $f(x)<F(x)<g(x)$，则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $D$ 上的一个严格分界函数．
（1）求证：$y={\rm e}^x$ 是 $y=1+x$ 和 $y=1+x+\dfrac 12x^2$ 在 $(-1,0)$ 上的一个严格分界函数；
（2）函数 $h(x)=2{\rm e}^x+\dfrac{1}{1+x}-2$，若存在最大整数 $M$，使得 $h(x)>\dfrac{M}{10}$ 在 $x\in (-1,0)$ 恒成立，求 $M$ 的值．
已知不等式 $\left(1+\dfrac 1n\right)^{n-a}\geqslant {\rm e}$ 对任意正整数 $n$ 都成立，试求实数 $a$ 的取值范围．
已知直线 $l$ 与双曲线 $\dfrac{x^2}4-y^2=1$ 相切于点 $P$，$l$ 与双曲线的两条渐近线交于 $M,N$ 两点，则 $\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{ON}$ 的值为（ ）
A．$3$
B．$4$
C．$5$
D．以上答案都不对
