Math173

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}\cdot a_n=\dfrac 1n$($n\in\mathbb N^*$)．
(1) 求证：$\dfrac{a_{n+2}}{n}=\dfrac{a_n}{n+1}$；
(2) 求证：$2\left(\sqrt{n+1}-1\right)\leqslant \dfrac{1}{2a_3}+\dfrac{1}{3a_4}+\cdots+\dfrac{1}{(n+1)a_{n+2}}\leqslant n$．

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平面上有两条线段$AB=3$，$AC=5$，且$\angle BAC=\dfrac{\pi}6$，则线段$AB$和$AC$在该平面上任意一条直线$l$上的投影的长度之和的取值范围是_________．
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如图，$\triangle ABC$中，$BA=BC$，延长$BA$至点$D$使$BD=AC$，若$\angle BCD=50^\circ$，求证：$\angle B=100^\circ$．

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函数$f(x)=\dfrac{4x}{x+1}$($x>0$)，$g(x)=\dfrac 12\left(|x-a|-|x-b|\right)$($a<b$)，若对$\forall x_1>0$，$\exists x_2\leqslant x_1$，$g(x_2)=f(x_1)$，则$2a+b$的最大值为________．

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若$\triangle ABC$沿三条中位线折起后能够拼接成一个三棱锥，则称这样的$\triangle ABC$为和谐三角形．设$\triangle ABC$的三个内角分别为$A,B,C$，则下列条件中能够确定为和谐三角形的有________．
① $A:B:C=7:20:25$；
② $\sin A:\sin B:\sin C=7:20:25$；
③ $\cos A:\cos B:\cos C=7:20:25$；
④ $\tan A:\tan B:\tan C=7:20:25$．

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一张长方形白纸$ABCD$，其中$AD=1$，$AB=a$($a\geqslant 1$)．设$D_1$是边$AB$上一点，记$AD_1=x$．现拿起白纸的顶点$D$，将点$D$折向$D_1$，并保证端点$D$与$D_1$重合．设折后得到的图形中，不在原来的长方形$ABCD$范围的部分面积为$S$．
(1) 用$a$和$x$表示$S$；
(2) 当$a=1$时，在$D_1$点从$A$移动到$B$的过程中，求$S$的最大值．
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已知函数$g(x)={\log_2}x,x\in(0,2)$，若关于$x$的方程$|g(x)|^2+m|g(x)|+2m+3=0$有三个不同的实数解，则实数$m$的取值范围是_______．

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若集合$A,B,C$满足$A\cap B=\varnothing$，且$A\cup B=C$，则称$(A,B)$为$C$的一个分割．
(1) 已知集合$A_1=\left\{x\mid \tan\left(\dfrac{\pi x}2+\dfrac{\pi}4\right)=-1,x\in\mathbb R\right\}$，集合$B_1=\{x\mid \cos(\pi x)=1,x\in\mathbb R\}$，集合$C_1=\{x\mid \sin(\pi x)=0,x\in\mathbb R\}$，问$(A_1,B_1)$是否为$C_1$的一个分割？请说明理由．
(2) 设函数$f(x)=\sqrt{\dfrac{x-a}{x-b}}$($a>b$)及 $$g(x)=\dfrac{\sin(\lambda+\mu)x}{\sin(\lambda-\mu)x}+\dfrac{\cos(\lambda+\mu)x}{\cos(\lambda-\mu)x},\lambda,\mu\in\mathbb R,$$ 记$A_2=\{x \mid y =f(x)\}$，$B_2=\{ y \mid y=g(x)\}$，已知当$\lambda=5$，$\mu=4$时，$(A_2,B_2)$为$\mathbb R$的一个分割．若平行四边形$P_1P_2P_3P_4$的四个顶点都在函数$h(x)={\log_2}\dfrac{x+1}{x-1}$的图象上，且$P_1$点的横坐标为$a-7$，$P_2$点的横坐标为$-\dfrac 23b$，试求平行四边形$P_1P_2P_3P_4$的面积．

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设$u,v,w,x_n$($n\in\mathbb N^*$)均为实数，若$u\cdot x_n,v+|x_{n+1}|,w\cdot x_{n+2}$成等差数列($n\in\mathbb N^*$)，则称数列$\{x_n\}$具有性质$T(u,v,w)$，已知$y_n\ne 0$($n\in\mathbb N^*$)，且数列$\{y_n\}$具有性质$T(2,0,2)$，如果存在$\theta\in\left(\dfrac{3\pi}2,2\pi\right)$使得$y_1=\sin\theta$，$y_2=\cos\theta$，那么在数列$\{y_n\}$的前$2017$项中，值为负数的项的个数为________．

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